Référence demandée pour le théorème de la théorie de l'homotopie
Je suis tombé sur ce post: Groupes d'homotopie de variété topologique compacte qui énonce exactement le résultat dont j'ai besoin pour un théorème sur lequel je travaille. Cependant, j'aurais besoin d'une référence, car le public n'a pas besoin d'être très familiarisé avec la théorie de l'homotopie.
Quelqu'un pourrait-il suggérer où je peux trouver le résultat:
Théorème: chaque lisse fermé et connecté$d$-collecteur $M$ a une carte homotopique continue et non nulle $f: S^{d'} \rightarrow M$ pour une sphère $S^{d'}$ avec $1 \leq d' \leq \dim(M)$.
En d'autres termes, si $M$ est une variété lisse fermée et connectée alors il y a un non-trivial $\pi_{d'}(M)$ pour certains $d'\leq \dim(M)$.
Réponses
Ce n'est pas une référence mais une courte preuve:
sinon, alors avec $d'=1$ on voit ça $M$ devrait être simplement connecté.
En particulier, si ses groupes d'homologie disparaissent tous, alors $M$est contractable. Mais les groupes d'homologie en dimension$> \dim(M)$ disparaissent toujours, et l'hypothèse implique (par Hurewicz) que l'homologie groupe en dimension $\leq \dim(M)$ disparaissent aussi.
Cela implique que $M$ est contractable, ce qui est impossible par la dualité de Poincaré (soit mod $2$, ou intégralement parce que $M$ est simplement connecté)
Plus simplement: $M$ est mod $2$-orientable, donc il doit avoir un mod non trivial $2$-cohomologie, cela doit être en dimension $\leq \dim(M)$, mais l'hypothèse implique que non, d'après le théorème de Hurewciz.