Règle de chaîne dérivée covariante d'ordre supérieur
Laisser $(M,g)$être une variété riemannienne. Laisser$\nabla_v$ être la dérivée covariante dans le $v$ direction pour tous $v\in T_xM$et dénoté par $\nabla^k h$ la $(k,0)$-champ de capteur défini en coordonnées locales de manière inductive par $$ \nabla^0h=dh,\quad(\nabla^kh)_{i_1,\dots,i_k}=(\nabla_{\partial_{i_1}}h)_{i_2,\dots,i_k}. $$ pour toute fonction fluide $h$.
Ma question est la suivante: y a-t-il une bonne façon d'exprimer la différence $\nabla\nabla_udh-\nabla_u\nabla dh$?
Pour éviter toute confusion, je considère l'expression donnée par $$ \nabla(\nabla_udh)(X,Y)-\nabla_u(\nabla dh)(X,Y)=\nabla_X(\underbrace{\nabla_udh}_{(1,0) -tensor\,field})(Y)-\nabla_u(\underbrace{\nabla dh}_{(2,0)-tensor\,field})(X,Y). $$Cela ressemble en quelque sorte au tenseur de courbure riemannien appliqué aux formes. J'ai essayé de développer la différence, mais je ne vois rien de familier. Plus généralement (mais peut-être que j'en demande trop), y a-t-il une bonne façon d'écrire$$ \nabla^k\nabla_udh-\nabla_u\nabla^kdh=? $$
Réponses
Écrire $\nabla_u dh = c^1_1 ( u\otimes \nabla dh)$, où $c^1_1$ est la contraction, alors
\begin{align} \nabla (\nabla_u dh ) &= \nabla(c^1_1 ( u\otimes \nabla dh)) \\ &=c^1_1 \nabla (u\otimes \nabla dh) \\ &= c^1_1( \nabla u \otimes \nabla dh + u \otimes \nabla \nabla dh) \end{align}
En particulier, cela signifie pour tous $X, Y$et en utilisant l' identité Ricci ,
\begin{align} \nabla (\nabla_u dh ) (X, Y) &= (\nabla_{\nabla_X u} dh) (Y)+ \nabla_X \nabla_u dh (Y)\\ &= (\nabla_{\nabla_X u} dh) (Y)+ \nabla_u \nabla_X dh (Y) + R(u, X)dh (Y) \end{align}
Donc
$$\big( \nabla (\nabla_u dh ) - \nabla_u \nabla dh \big)(X, Y) = (\nabla_{\nabla_X u} dh) (Y)+ R(u, X)dh (Y).$$
donc comme prévu les termes de courbure sortent. Nous avons aussi$\nabla u$. En général, lors du calcul$$ \nabla^k \nabla_u dh- \nabla _u \nabla^k dh,$$ tu dois différencier $u$ $k$-times et utiliser l'identité Ricci $k$-fois. Je suppose qu'il n'y aura pas de bonne formule.