Régularisation dimensionnelle de l'énergie propre des électrons du livre de Ryder

Question

J'étudie l'auto-énergie des électrons en utilisant le manuel de Ryder, à la page 334, nous pouvons voir

Définir$k'=k-pz$et en évitant le terme linéaire dans$k'$(parce qu'il s'intègre à zéro) donne \begin{equation} \Sigma(p)=-ie^2\mu^{4-d}\int_0^1dz\gamma_\mu({\not} p-{\not} p z+m)\gamma^\mu\int\frac{d^dk'}{(2\pi)^d}\frac{1}{[k'^2-m^2z+p^2z(1 -z)]^2}.\label{r2.7}\end{equation} [...] Cette intégrale est réalisée à l'aide de l'équation (9A.5), donnant \begin{equation} \Sigma(p )=\mu^{4-d}e^2\frac{\Gamma(2-\frac{d}{2})}{(4\pi)^{d/2}}\int_0^1dz\gamma_ \mu[{\not}p(1-z)+m]\gamma^\nu[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2}. \end{équation}

L'équation 9A.5 est \begin{equation} \int\frac{d^dp}{(p^2+2pq-m^2)^{\alpha}}=(-1)^{d/2}\ imath\pi^{d/2}\frac{\Gamma\left(\alpha-\frac{d}{2}\right)}{\Gamma(\alpha)}\frac{1}{[-q^ 2-m^2]^{\alpha-d/2}} .\tag{9A.5} \end{equation} Je ne comprends pas comment il a appliqué cette intégrale (9A.5) pour obtenir le résultat \begin {équation} \Sigma(p)=\mu^{4-d}e^2\frac{\Gamma(2-\frac{d}{2})}{(4\pi)^{d/2} }\int_0^1dz\gamma_\mu[{\not}p(1-z)+m]\gamma^\nu[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2 }. \end{equation} s'il vous plaît aidez-moi à me faire une idée.

Answer 1

Il suffit d'appliquer le résultat (9A.5) à l'intégrale dans$d^d k^\prime$. Appel en fait$M^2 = m^2z-p^2z(1-z)$et met$q=0$dans l'intégrale (9A.5)$$ \int\frac{d^dk'}{(2\pi)^d}\frac{1}{[k'^2-m^2z+p^2z(1-z)]^2} = \int\frac{d^dp}{(2\pi)^d}\frac{1}{[p^2-M^2]^2}=\frac{1}{(2\pi)^d}(-1)^{d/2}i\pi^{d/2}\frac{\Gamma\left(2-\dfrac{d}{2}\right)}{\Gamma(2)}\frac{1}{[-M^2]^{2-d/2}}$$

où nous venons de changer la variable d'intégration de$k^\prime$à$p$pour le rendre plus clair à partir du résultat 9A.5. Utilisant le fait que$\Gamma(2) = 1$, en utilisant la définition ci-dessus de$M^2$et en simplifiant un peu vous obtenez$$\frac{(-1)^{d/2}}{2^d}i\pi^{-d/2}\Gamma\left(2-\frac{d}{2}\right)[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2} = \frac{i(-1)^{d/2}}{(4\pi)^{d/2}}\Gamma\left(2-\dfrac{d}{2}\right)[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2}$$où nous avons utilisé le fait que$2^d = 4^{d/2}$

Answer 2

Comparez le deuxième intégrande dans la première équation avec ty he dans le grand en 9A5. Tu vois ça$\alpha \rightarrow 2$,$q \rightarrow 0$,$ -m^2 \rightarrow etc.$transformera un intégrande en l'autre. Faire les mêmes substitutions à droite de 9A5 devrait vous donner le résultat souhaité.