Relier la valeur propre minimale d'une matrice symétrique via des normes matricielles
Je lis un article dans lequel les auteurs prouvent une inégalité de la forme suivante:
$$\lVert H-H'\rVert_2 \leq \lVert H-H'\rVert_F \leq \epsilon \tag 1$$
Ici $H$ et $H'$ sont des matrices réelles symétriques ($H'$ a toutes les valeurs propres positives, si cela compte), et les normes sont les $L_2$la norme matricielle et la norme de Frobenius, respectivement. Sans justification, les auteurs affirment alors:
$$\lambda_\text{min}(H) \geq \lambda_\text{min}(H') - \epsilon \tag 2$$
où $\lambda_\text{min}$ est la valeur propre minimale d'une matrice.
Je ne vois pas comment justifier cela, ni même si (2) est même destiné à être déduit du (1). Voici l'article - la fin de la preuve du lemme 3.2, page 6.
Réponses
Cette réponse est basée sur celle-ci . Ci-dessous, nous travaillerons avec un produit interne arbitraire, et lorsque nous prenons la norme d'une matrice, cela signifie la norme de l' opérateur associée à la norme vectorielle que nous utilisons. Nous avons:
Théorème. Si$A$ et $B$ sont vraiment symétriques, alors:
$$\lambda_\text{min} (A) \geq \lambda_\text{min} (B) - \lVert A-B\rVert$$ $$\lambda_\text{max} (A) \leq \lambda_\text{max} (B) + \lVert A-B\rVert$$
Pour le prouver, la clé est l'expression $x^T Mx$, où $M$ est une matrice symétrique et $x$a la norme d'unité. Nous avons besoin de deux lemmes à propos de cette expression.
Lemme 1. Pour toute matrice$M$ et toute norme d'unité $x$: $$-\lVert M\rVert \leq x^T Mx\leq \lVert M\rVert$$ Preuve. Application simple de Cauchy-Schwartz et de la définition d'une norme d'opérateur:$$|x^TMx|\leq\lVert x\rVert \lVert Mx\rVert\leq \lVert x\rVert^2 \lVert M\rVert=\lVert M\rVert$$
Lemme 2. Pour toute matrice symétrique$M$ et toute norme d'unité $x$: $$\lambda_\text{min}(M) \leq x^T M x \leq \lambda_\text{max}(M)$$ et les limites sont atteintes comme $x$ varie sur la sphère unitaire.
Preuve. Laisser$M=P^TDP$ où $P$ est orthogonal et $D$est en diagonale. ensuite$$x^TMx = (Px)^TD(Px)$$ Comme $x$ varie sur la sphère unitaire, $Px$ varie également sur toute la sphère unitaire, donc la plage de la dernière expression ci-dessus est simplement la plage de $y^TDy$ comme $y$s'étend sur la sphère unitaire. Par l' inégalité de réarrangement et quelques autres arguments simples, le minimum est atteint lorsque$y$ est un vecteur propre associé à $\lambda_\text{min}(M)$ et le maximum quand $y$ est un vecteur propre associé à $\lambda_\text{max}(M)$.
Enfin, nous pouvons prouver le théorème. Pour toute norme d'unité$x$, nous avons
$$x^TAx = x^TBx + x^T(A-B)x$$
En appliquant le lemme 1 au deuxième terme et le lemme 2 au premier terme, le minimum du côté gauche est au moins $\lambda_\text{min} (B)-\lVert A-B\rVert$. Par le lemme 2, on sait que le minimum du côté gauche est égal à$\lambda_\text{min} (A)$. Un argument similaire montre l'autre inégalité dans le théorème.