Résolution d'équations non linéaires de la forme $\mathbf x = A f(\mathbf x)$
Laisser $A$ être un vrai, inversible $n\times n$matrice. Je suis intéressé à trouver les vecteurs$\mathbf{x}\in\mathbb R^n$ qui résolvent l'équation suivante:
$$\mathbf x = A \tanh(\mathbf x)$$
où le $\tanh$est appliqué élément par élément. Plus généralement, nous pouvons considérer d'autres types de non-linéarités au lieu des$\tanh$ (mais toujours appliqué par élément).
Existe-t-il une approche générique pour étudier les solutions de ce type d'équations? Exploitant probablement la décomposition propre de$A$?
J'ai ajouté la balise «demande de référence» au cas où quelqu'un pourrait suggérer des références pertinentes à la littérature.
Réponses
Dans le cas 2D, l'équation prend la forme $$\begin{cases}x=a f(x)+bf(y),\\y=cf(x)+df(y)\end{cases}$$
et après élimination de $y$, on obtient une équation non linéaire univariée $$\frac{x-af(x)}b=f\left(cf(x)+\frac db(x-af(x)\right).$$ Nous ne voyons aucune simplification particulière ni aucun lien avec les valeurs propres.
J'ai vu des cas numériques avec quatre solutions positives distinctes.