Résolution d'un système d'équations non linéaires: montrer l'unicité ou la multiplicité des solutions

Question

Considérez ce système de $12$ équations $$ \left\{\begin{array}{rcrclr} \alpha^{2}p_{i} & + & \left(1 - \alpha\right)^{2}\left(1 - p_{i}\right) & = & c_{i}, & \forall i =1,2,3,4 \\[1mm] \alpha\left(1 - \alpha\right)p_{i} & + & \left(1 - \alpha\right)\alpha\left(1 - p_{i}\right) & = & d_{i}, & \forall i =1,2,3,4 \\[1mm] \left(1 - \alpha\right)^{2}p_{i} & + & \alpha^{2}\left(1 - p_{i}\right) & = & e_i, & \forall i =1,2,3,4 \end{array}\right. $$ où

• $\alpha \in \left[0,1\right]$

• $p_{i} \in \left[0,1\right]$ $\forall i = 1, 2, 3, 4$

• $c_{i}, d_{i}, e_{i}$ sont des nombres réels $\forall i = 1, 2, 3, 4$.

Je veux montrer que ce système d'équation a (ou n'a pas) une solution unique par rapport à $\alpha, p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}$. Pourriez-vous aider ?.

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C'est ce que j'ai essayé et où je suis empilé. Laisser $i = 1$. De la deuxième équation, nous obtenons $$ \alpha - \alpha^{2} = d_{1} $$ qui donne $$ \alpha_{\left(1\right)} = \frac{1 + \sqrt{1 - 4d_{1}}}{2},\quad \alpha_{\left(2\right)} = \frac{1 - \sqrt{1 - 4d_{1}}}{2} $$ De la première équation on peut obtenir $p_{1}$. À partir d'autres équations, je suppose que l'on peut obtenir de manière analogue $p_{2}, p_{3}, p_{4}$.

Est-ce suffisant pour montrer que le système n'a pas de solution unique? Ou, y a-t-il un moyen d'en exclure un entre$\alpha_{\left(1\right)},\alpha_{\left(2\right)}$ ?.

Answer 1

Comme vous l'avez remarqué, les quatre secondes équations se réduisent à $\alpha-\alpha^2=d_i$. La condition nécessaire pour que le système ait une solution est donc$0\le d=d_1=d_2=d_3=d_4\le \frac 14$. Les équations restantes se réduisent à$$p_i(2\alpha-1)=c_i-(\alpha-1)^2=\alpha^2-e_i.$$ Ça suit $2\alpha^2-2\alpha=c_i+e_i-1=-2d_i$. C'est une autre condition nécessaire pour que le système ait une solution. Nous supposons que les deux groupes de conditions nécessairement sont valables. Les cas suivants sont maintenant possibles.

1)) $d=\tfrac 14$. ensuite$\alpha=\tfrac 12$. ensuite$p_i$ sont indéterminées par le système, et il a une solution (pas unique) ssi $e_i=\alpha^2=\frac 14$ pour chaque $i$

2)) $0\le d<\frac 14$. Ensuite, il y a deux choix possibles$\alpha_1$ et $\alpha_2$ pour $\alpha$ et

$$p_i=\frac{\alpha^2-e_i}{2\alpha-1}=\frac{\alpha-d-e_i}{2\alpha-1}=\frac 12+\frac{1/2-d-e_i}{2\alpha-1}.$$

Nous avons $p_i\in [0,1]$ iff $|1-2d-2e_i |\le |2\alpha-1|=|2\alpha_j-1|$ pour chaque $i$. Si cette condition échoue pour certains$i$, alors le système n'a pas de solutions. Sinon, il a deux solutions, une pour chacune$\alpha_j$.