Si $A$ est noéthérien, alors chaque idéal fractionnaire est de la forme $x^{-1} \frak{a}$ pour un idéal $\frak{a}$ de $A$

Aug 18 2020

[Déclaration] Si $A$ est noéthérien, alors chaque idéal fractionnaire est de la forme $x^{-1} \frak{a}$ pour un idéal $\frak{a}$ de $A$, $x \in A$.


[Tentative]

Je trouve cela dans Atiyah Macdonald Commutative algebra, chapitre 9, page 96, Fractional idéals.

Ils disent si $A$ est noéthérien, alors chaque idéal fractionnaire est de la forme $x^{-1} \frak{a}$ pour un idéal $\frak{a}$ de $A$, $x \in A$ donc chaque idéal fractionnaire est généré de manière finie.

Il n'y a rien de mal à ce que "donc chaque idéal fractionnaire soit généré de manière finie" $A$ Noetherian est si idéal $\frak{a}$ est fini.

Cependant, comment afficher la déclaration ci-dessus?

Laisser $M$être idéal fractionnaire. Alors par définition, il y a$\frac{b}{a} \in K:=\text{Frac}(A)$ tel que $\frac{a}{b} M \subseteq A $, donc $M \subseteq \frac{b}{a}A$.

Quelle est la prochaine étape?

Réponses

3 Stahl Aug 18 2020 at 12:26

Laisser $\{m_i\}_{i\in I}$ produire $M$ comme un $A$-module. Puis comme$m_i A\subseteq M\subseteq\frac{b}{a}A,$ il s'ensuit que $m_i\in\frac{b}{a}A.$ Ainsi, pour chaque $i,$ nous pouvons écrire $$m_i = \frac{b_i}{a},$$ avec $b_i\in A.$ Cela implique que \begin{align*} M &= \sum_{i\in I} m_i A\\ &=\sum_{i\in I}\frac{b_i}{a}A\\ & = \frac{1}{a}\sum_{i\in I}b_i A. \end{align*} Mais maintenant $\sum_{i\in I}b_i A$ est simplement l'idéal de $A$ généré par le $b_i,$ nous avons donc terminé.