Si $f: \mathbb N \rightarrow \mathbb N \times \mathbb N $ tel que $f(n)=(n,n+1)$ Est-ce surjectif et / ou injectif?

Question

Si $f: \mathbb N \rightarrow \mathbb N \times \mathbb N $ tel que $f(n)=(n,n+1)$ Est-ce surjectif et / ou injectif?

Je sais que c'est surjectif $\Leftrightarrow \forall (a,b) \in \mathbb N \times \mathbb N \exists c \in \mathbb N:f(c)=f(a,b)$

C'est évidemment injectif car si $(n,n+1)=(m,m+1) \rightarrow n=m$

Je vois que ce n'est pas surjectif mais je ne sais pas comment le prouver, puis-je obtenir de l'aide?

Answer 1

Considérer $(1,1)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}$. Supposons pour contradiction qu'il existe$n\in\mathbb{N}$ avec $f(n)=(n,n+1)=(1,1)$. Puis en lisant la première entrée, nous obtenons$n=1$. En lisant la deuxième entrée, nous obtenons$n+1=1\implies n=0$. Clairement on ne peut pas avoir$n=1$ et $n=0$en même temps. Contradiction. Par conséquent$f$ n'est pas surjectif.