Si $m$ est un entier positif, montrez que $3m+2$ et $5m+3$ sont relativement premiers [en double]

Dec 07 2020

J'ai essayé de le prouver en supposant le contraire. Donc (3m + 2, 5m + 3) = k, k> 1 3m + 2 = ka; 5m + 3 = kb;

5 m + 3 = 3 m + 2 + 2 m + 1; 5 m + 3 = ka + 2 m + 1; kb = ka + 2 m + 1; 2m + 1 = kb-ka; 2 m + 1 = 5 m + 3-3 m + 2; 2 m + 1 = 2 m + 1; Ce qui signifie qu'ils ne sont pas relativement premiers, mais si vous testez cela avec des nombres, vous pouvez clairement voir qu'ils le sont. Qu'est-ce que je fais mal ?

Réponses

1 J.W.Tanner Dec 07 2020 at 00:44

Tu viens de le prouver $2m+1=2m+1$.

Essayez ceci ( algorithme euclidien ) pour montrer que le pgcd est$1$:

$$5m+3=1(3m+2)+(2m+1)$$

$$3m+2=1(2m+1)+(m+1)$$

$$2m+1=1(m+1)+m$$

$$m+1=1(m)+1$$

1 LionHeart Dec 07 2020 at 00:45

$$(5m+3;3m+2)=(2m+1;3m+2)=(2m+1;m+1)=(m;m+1)=1$$

1 Noname Dec 07 2020 at 00:50

Si $d$ divise les deux $3m+2$ et $5m+3$, il faut aussi diviser $5(3m+2)-3(5m+3)=1$.