" $\Sigma_1^1$-Peano arithmétique »- est-ce que ça cloue $\mathbb{N}$?

Question

Laisser $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$être la théorie de la logique du second ordre obtenue en étendant les axiomes habituels de Peano du premier ordre pour inclure arbitraire$\Sigma^1_1$formules dans le schéma d'induction. Ma question est:

Fait $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ avez des modèles non standard?

Notez qu'un modèle de $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ est exactement un modèle de $\mathsf{PA}$ sans (non trivial proprement dit) $\Sigma^1_1$-des coupes définissables.

Si nous remplaçons $\Sigma^1_1$ avec $\Pi^1_1$ la réponse est immédiatement négative, puisque l'ensemble des éléments standards d'un modèle de $\mathsf{PA}$ est $\Pi^1_1$. Cependant, rien de similaire ne semble fonctionner pour$\Sigma^1_1$ (même si je pourrais facilement manquer quelque chose d'évident).

Une observation rapide est que $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$implique une véritable arithmétique du premier ordre . Étant donné une formule de premier ordre$\varphi(x)$, laisser $\hat{\varphi}(x)$ Soit le $\Sigma^1_1$ formule "Il y a une coupe contenant $x$ de telle sorte que chaque élément de la coupe satisfait $\varphi$." Si $M\models\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ nous avons trivialement $\hat{\varphi}^M\in\{\emptyset,M\}$; par récurrence sur la complexité de$\varphi$ nous pouvons montrer que si chaque nombre naturel standard satisfait $\varphi$ ensuite $0\in\hat{\varphi}^M$ et par conséquent $M\models\forall x\varphi(x)$ (qui donne alors $M\equiv\mathbb{N}$). Cependant, je ne vois pas comment utiliser cela pour obtenir la catégoricité. En fait, pour autant que je sache, il est possible que, par exemple, chaque ultrapuissance non triviale de$\mathbb{N}$ satisfait $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$. (Noter que$\Sigma^1_1$les phrases sont préservées en prenant des ultrapowers; cependant, une instance d'induction pour un$\Sigma^1_1$ la formule est $\Sigma^1_1\vee\Pi^1_1$ et $\Pi^1_1$ les phrases ne sont pas conservées lors de la prise d'ultrapowers, donc cela ne semble pas aider.)

Answer 1

Si vous autorisez votre $\Sigma^1_1$ formules pour avoir des paramètres, puis PA$_{\Sigma^1_1}$n'a que le modèle standard. Pour le prouver, utilisez le$\Pi^1_1$ définition de la normalité pour produire un $\Sigma^1_1$ formule $\sigma(x,y)$ dire que $x<y$ et $y-x$ n'est pas standard, c'est-à-dire $x$ est infiniment bien en dessous $y$. C'est facile de montrer que$\sigma(x,y)$ implique $\sigma(x+1,y)$. Donc, par$\Sigma^1_1$ induction, si $\sigma(0,y)$ ensuite $\forall x\,\sigma(x,y)$ et en particulier, $\sigma(y,y)$, ce qui est absurde. Donc$\neg\sigma(0,y)$. Mais ça veut dire$y$ est standard.