Soit a, b et c des entiers positifs impairs. Montrer que l'équation quadratique 𝑎𝑥 ^ 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 n'a pas de solution rationnelle. [dupliquer]

Nov 19 2020

Pour le prouver, je pense que le Δ devrait =$k^2$ donc je laisse a = 2p-1, b = 2q-1, c = 2r-1, où p, q, r sont tous des entiers positifs, alors j'ai calculé $ b^2-4ac$ lequel est $-16 p r + 8 p + 4 q^2 - 4 q + 8 r - 3$ et j'ai du mal à prouver que $-16 p r + 8 p + 4 q^2 - 4 q + 8 r - 3 ≠ k^2$ alors comment prouver Δ ≠ $k^2$ et est-il possible d'utiliser la méthode de contradiction (laissez une racine $x_0$= p / q et $gcd(p,q)=1$)

Réponses

cgss Nov 19 2020 at 21:28

Étape 1: Nous montrons qu'il a soit zéro, soit deux solutions rationnelles. Supposons alors le contraire, c'est-à-dire$x_1 \in \mathbb{Q}, x_2 \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$. ensuite$x_1x_2 \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$, ou $-ac\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$. Contradiction.

Étape 2: Supposons que cela a deux solutions rationnelles. Ainsi, il peut s'écrire:\begin{align*} (x - \frac{n_1}{m_1})(x - \frac{n_2}{m_2}) &= 0\\ (m_1x - n_1)(m_2x - n_2) &= 0 \\ m_1m_2x^2 - (n_1m_2 + n_2m_1)x + n_1n_2 &= 0 \end{align*}

Maintenant, je vais prétendre que nous avons terminé. Notez que nous pouvons choisir$n_i, m_i$ tel que $\gcd(n_i, m_i) = 1$. Nous avons besoin des coefficients de$x$avoir la même parité. Si$m_1$ est même alors $n_2$ doit être pair ce qui donne $n_1m_2 + n_2m_1$impair. L'argument symétrique s'applique lorsque$m_2$est même. Enfin, si les deux$m$ sont bizarres alors $n$ sont bizarres mais maintenant $(n_1m_2 + n_2m_1)$ est même ainsi nous atteignons la contradiction requise.