Solution numérique de la dilatation relative du temps gravitationnel des champs gravitationnels dipolaires induits

Question

En gravitoélectromagnétisme , une approximation de la relativité générale dans la limite du champ faible, les équations d'Einstein se simplifient en une forme très similaire aux équations de Maxwell. Dans ce domaine, les champs gravitationnels traditionnels sont appelés champs "gravitoélectriques", et en changeant peuvent induire leur équivalent à un champ magnétique, des champs gravitomagnétiques. Inversement, un champ gravitomagnétique changeant peut induire un champ gravitoélectrique.

Il est important de noter que les champs gravitationnels induits par les champs gravitomagnétiques peuvent être dipolaires , avec des pôles à la fois attractifs et répulsifs. Avec tout cela à l'esprit, et à condition que puisque ces champs ne sont pas conservateurs (les lignes de champ du champ gravitationnel induit forment des boucles fermées un peu comme un champ électrique induit) et donc les arguments habituels concernant les potentiels newtoniens sont inapplicables :

Quelle est la dilatation temporelle gravitationnelle relative d'un observateur situé à 1 mètre (côté répulsif) du point central d'un tore produisant un champ gravitationnel dipolaire de 100 g par rapport à un observateur éloigné ? En effet, le champ étant répulsif, ferait-il accélérer l'horloge de l'observateur situé à proximité du tore par rapport à l'observateur éloigné ?

Answer 1

En supposant que nous travaillons sous l'approximation de champ faible, le potentiel gravitationnel devrait avoir la forme :$$P=\frac{n\cos(\theta)}{r^2}$$Le champ selon l'axe vertical vaut :$$g=\frac{2n}{r^3}$$Pour trouver la valeur de n, nous utilisons le fait que g=100 à r=1.$$n=\frac{gr^3}{2}=\frac{100\cdot1^3}{2}=50$$La dilatation du temps gravitationnel dépend du potentiel gravitationnel.$$t_d=e^{\frac{P}{c^2}}=e^{\frac{n\cos(\theta)}{c^2r^2}}=e^{\frac{50\cos(\theta)}{c^2r^2}}$$Maintenant, pour trouver la vitesse à laquelle le temps passe audit point$$t_d=e^{\frac{50\cos(0)}{c^2\cdot1^2}}=e^{\frac{50}{c^2}}=e^{\frac{50}{299792458^2}}=e^{5.5632503\cdot10^{-16}}=1.0000000000000005563250280268093708358133869390635833174567871473...$$Comme vous pouvez le voir, le temps passe un peu plus vite à ce point qu'à un point infiniment éloigné. Étant donné que le potentiel est$50\frac{m^2}{s^2}$, je dirais que l'approximation du champ faible est valable ici.