Sont $K(\pi_1,1)$ homotopie tangentielle équivalente?

Nov 27 2020

Sait-on si deux collecteurs lisses et compacts $X \simeq K(\pi_1,1) \simeq Y$ sont tangentiellement équivalents à l'homotopie, c'est-à-dire le retrait du faisceau tangent de $Y$ le long d'une équivalence homotopique lisse $X \rightarrow Y$ est isomorphe au faisceau tangent de $X$? Je soupçonne que cela peut être difficile, cela ne semble pas plus fort ou plus faible que la conjecture de Borel, car même si la conjecture de Borel était vraie, nous pourrions avoir plusieurs structures lisses qui ne sont pas tangentiellement équivalentes à l'homotopie.

Réponses

14 user169545 Nov 28 2020 at 11:20

Je pense que la réponse est non : il existe une paire de variétés lisses fermées asphériques qui sont équivalentes à l'homotopie mais pas tangentiellement équivalentes à l'homotopie.

Réclamation: Let $X$ être un collecteur 9 orienté fermé lisse tel que $p_2(TX) = 0 \in H^8(X;\mathbb{Z}) = H_1(X;\mathbb{Z})$. Pour toute$v \in H_1(X;\mathbb{Z})$ avec $7 v = 0$, il existe un collecteur lisse $Y$ et un homéomorphisme PL $f: X \to Y$, tel que $f^*(p_2(TY)) = v$.

Si $v \neq 0$, il ne peut alors y avoir d'équivalence d'homotopie tangentielle $X \to Y$, car il faudrait $p_2(TY) \neq 0$ à $p_2(TX) = 0$. Pour avoir un exemple concret, nous pouvons prendre$X$ être le produit de $(S^1)^6$ et un collecteur asphérique fermé à 3 torsions non triviales en $H_1$. Plus concrètement encore, la 3-variété peut être prise comme le tore de cartographie du difféomorphisme de$S^1 \times S^1$ correspondant à la matrice $\begin{bmatrix}1 & 7\\0 & 1\end{bmatrix}.$

Preuve de réclamation: la 7 torsion en $H^8(X;\mathbb{Z})$ est d'accord avec la 7 torsion en $H^8(X;\mathbb{Z}_{(7)})$, et en lissant la théorie, il suffit de voir que $(0,v)$ est à l'image de l'homomorphisme $$[X,PL/O] \to [X,BO] \xrightarrow{(p_1,p_2)} H^4(X;\mathbb{Z}_{(7)}) \times H^8(X;\mathbb{Z}_{(7)}).$$ Mais la seconde carte est factorisée par un isomorphisme de $[X,BO] \otimes \mathbb{Z}_{(7)}$, et dans le domaine on peut donc factoriser sur $[X,PL/O] \otimes \mathbb{Z}_{(7)}$. Mais d'après le calcul Kervaire-Milnor des sphères exotiques, il y a une carte$PL/O \to K(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z},7)$ induisant un isomorphisme sur des groupes d'homotopie dans une large gamme (bien au-delà $9 = \dim(X)$) après la tension avec $\mathbb{Z}_{(7)}$. De plus, la carte de connexion$$H^7(X;\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}) \xleftarrow{\cong} [X,PL/O] \otimes \mathbb{Z}_{(7)} \to [X,BO] \otimes \mathbb{Z}_{(7)} \xrightarrow{p_2} H^8(X;\mathbb{Z}_{(7)})$$ peut être identifié à l'homomorphisme de Bockstein $\beta: H^7(X;\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}) \to H^8(X;\mathbb{Z}_{(7)})$, qui peut à son tour être identifié avec $\beta: H_2(X;\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}) \to H_1(X;\mathbb{Z}_{(7)})$. Mais l'image de cela est précisément le noyau de la multiplication par 7, c'est-à-dire les 7 éléments de torsion.$\Box$