Sous-espaces complémentaires, question Vrai/Faux

Question

Vrai ou faux?

$W_1$,$W_2$et$W_3$sont des sous-espaces de l'espace vectoriel$V$. Si$W_1 ⊕ W_2 = V$et$W_1 ⊕ W_3 = V$, alors$W_2 = W_3$.

En fait, on m'a posé cette petite question lors d'un examen et j'ai dit que c'était vrai, mais on m'a dit plus tard que c'était faux. Quelqu'un peut-il m'expliquer pourquoi afin que je puisse intuitivement voir dans ma tête que c'est effectivement faux. Ce n'est qu'alors que je pourrai trouver un contre-exemple.

Merci d'avance.

Answer 1

$W_2$et$W_3$sont isomorphes, mais peuvent ne pas appartenir au même sous-espace.

Une façon de voir cela est de choisir d'abord une base$B$de$W_1$. Il existe différentes manières d'étendre cette base à une base de$W_1 \oplus W_2$, donc les vecteurs supplémentaires ajoutés à$B$peuvent couvrir différents sous-espaces.

Une autre façon est d'imaginer un automorphisme$\alpha$de$V$, (c'est à dire$\alpha:V \to V$est une application linéaire inversible). Supposer que$W_1$est un sous-espace invariant de$\alpha$. Alors$W_1 \oplus \alpha (W_2)=V$pour tous ces$\alpha$.

Answer 2

C'est effectivement faux ! Vous avez par exemple que$$\mathbb R^2=\text{Span}\{(1,0)\}\oplus \text{Span}\{(0,1)\}=\text{Span}\{(1,0)\}\oplus \text{Span}\{(1,1)\},$$mais$$\text{Span}\{(1,1)\}\neq \text{Span}\{(0,1)\}.$$