Statut du premier ordinal infini $\omega$ dans une analyse non standard?
Avec un nouveau temps libre pendant la pandémie, j'ai étudié l'analyse non standard. Je n'aimais pas trop les ultrafiltres, alors je me suis tourné vers la théorie des ensembles interne de Nelson et la théorie des ensembles de Hrbacek. Bien que je préfère ce dernier, j'ai plus d'expérience avec le travail de Nelson, donc je vais formuler les choses en termes d'IST.
J'ai une connaissance de base des nombres ordinaux en théorie des ensembles, dont $\omega$est le premier. Je veux savoir où se situe l'ensemble dans IST. Est-ce simplement un nombre hyperfini standard? Intuitivement, le fait que$\omega > n$ pour chaque nombre naturel $n$, m'a fait supposer que $\omega$ pourrait être membre de ${}^*\mathbb{N}$, car c'est la propriété déterminante de ces nombres naturels. J'ai trouvé un article ( Taras Kudryk et al., 2004 ) mentionnant les entiers hyperfinis standards qui prouvaient dans sa proposition 2.1 que:
Il existe un $\mathbf{standard}$ R-infini [c'est-à-dire dans ${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$] nombre hypernaturel.
Si je comprends bien, chaque ensemble défini de manière unique dans ZFC sans référence au prédicat standard est standard. Par conséquent, le premier ordinal transfini$\omega$est un ensemble standard. Avec cela, j'espérais prouver que$\omega\in{}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$. Cependant, en même temps, je rappelle qu'il n'y a pas le moindre nombre naturel hyperfini. Cela semble contredire le fait que$\omega$ est le plus petit nombre ordinal.
À ce stade, mon manque d'expérience avec la théorie des ensembles se manifeste probablement. En examinant les questions traitant des différences entre$\omega$ et $\mathbb{N}$me fait réaliser que je pourrais être au-dessus de ma tête ici. Pourrais-je avoir des éclaircissements de la part de ceux qui ont plus d'expérience avec la théorie des ensembles et ses extensions non standard? Où est-ce que$\omega$ (et vraiment les nombres ordinaux en général) s'inscrivent dans IST?
Réponses
Le plus petit ordinal de von Neumann transfini $\omega$ et les éléments de ${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$sont des objets différents. Demander "fait$\omega$ appartiennent à l'ensemble ${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$? "n'a pas beaucoup de sens, de la même manière demander" le groupe $S_3$ contenir l'ensemble $\mathbb{R}$ en tant qu'élément? »n'a pas beaucoup de sens.
Je peux organiser une situation où la réponse à cette dernière question est techniquement oui. Par exemple en définissant le groupe$S_3$ en tant que groupe avec l'ensemble sous-jacent $S_3 = \{A,B,C,D,E,\mathbb{R}\}$ et avec table de multiplication
S_3 ℝ A B C D E
--+------------------------
ℝ | ℝ A B C D E
A | A B ℝ D E C
B | B ℝ A E C D
C | C E D ℝ B A
D | D C E A ℝ B
E | E D C B A ℝ
nous n'avons pas que ça $\mathbb{R} \in S_3$, mais aussi que $\mathbb{R}$ est l'élément d'identité de $S_3$. Ceci est bien sûr une technicité dénuée de sens, et ne doit pas être confondu avec une relation mathématique entre le groupe$S_3$ et les vrais nombres $\mathbb{R}$.
En fonction de votre construction de l'extension ${}^*\mathbb{N}$, vous pouvez également organiser pour faire $\omega \in {}^*\mathbb{N} \setminus \mathbb{N}$ tenir, mais cela ne vous apprend rien sur les ordinaux: vous pouvez organiser par exemple $\mathbb{R} \in {}^*\mathbb{N}$ exactement de la même manière.
Avec cela à l'écart, y a-t-il une manière mathématique naturelle dans laquelle l'ordinal $\omega$correspond à un nombre naturel fixe non standard? La réponse à cette question est non, et elle reste non même si nous remplaçons "nombre naturel non standard fixe" par "élément standard fixe de${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$ où ${}^*\mathbb{N}$ indique une hyperextension standard de $\mathbb{N}$"(en fait, je suggère d'éviter ces notions mixtes IST et Robinsonian NSA jusqu'à ce que vous deveniez beaucoup plus à l'aise avec les deux formalismes).
Il en va de même pour votre question implicite sur l'obtention de nombres non standard "concrets": vous ne pourrez pas identifier de nombre non standard concret en utilisant les axiomes IST. La seule façon de construire des nombres non standard est via l'idéalisation (si vous omettez l'axiome d'idéalisation de IST, il est cohérent avec le système résultant que tous les objets sont standard), et on peut construire des modèles d'IST où chaque spécification par idéalisation (essentiellement chaque non- isolé de type 1) est réalisé par au moins deux éléments différents du modèle.