$\sum_{p,m\geq 3}(-1)^{m(p-1)/2}e^{-p^my}\log p = O(y^{-1/3})$
Montrez que pour suffisamment petit $y$ nous avons $\sum_{p,m\geq 3}(-1)^{m(p-1)/2}e^{-p^my}\log p = O(y^{-1/3})$ où $m\geq 3$ représente tous les entiers positifs de $3$ en avant, tandis que $p\geq 3$ représente tous les nombres premiers impairs.
Je pensais diviser selon la parité de $m$ et le reste de $p$ mod $4$puis en utilisant la sommation partielle et les théorèmes des nombres premiers. Cependant, la partie avec$m$ même est
$$ \sum_{\substack{m\geq 4 \\ 2\mid m}}\sum_{p>2} e^{-p^my}\log p = \sum_{\substack{m\geq 4 \\ 2\mid m}}\int_0^{\infty}\left[\sum_{2<p\leq t} \log p\right](myt^{m-1}e^{-t^my})dt \leq \sum_{\substack{m\geq 4 \\ 2\mid m}}m\int_0^{\infty}yt^{m}e^{-t^my}dt \\ = \sum_{\substack{m\geq 4 \\ 2\mid m}}\Gamma\bigg(1+\frac{1}{m}\bigg)y^{-\frac{1}{m}} \leq \sum_{\substack{m\geq 4 \\ 2\mid m}}y^{-\frac{1}{m}}$$ et ce dernier n'est malheureusement pas $O(y^{-1/3})$(quand je branche le ratio sur Wolfram Alpha, ça me donne que ça diverge). Pour bizarre$m$ il est au moins bien que vous puissiez annuler des choses des termes principaux issus du théorème des nombres premiers pour les progressions arithmétiques et cela pourrait fonctionner correctement.
Des idées pour corriger l'approche? Toute aide appréciée!
Réponses
Somme sur $m$premier. Puisque$p^k \geqslant 1 + k(p-1)$ pour tous $k \in \mathbb{N}$ par l'inégalité de Bernoulli nous avons $$\sum_{m = 3}^{\infty} e^{-p^my} \leqslant \sum_{k = 0}^{\infty} e^{-p^3y - k(p-1)p^3y} = \frac{e^{-p^3y}}{1 - e^{-(p-1)p^3 y}} \tag{1}$$ pour tous $y > 0$ et tout $p > 1$.
Si nous gardons $y$ loin de $0$, le dénominateur du côté droit de $(1)$ est délimité de $0$ et on peut estimer brutalement \begin{align} \sum_{p \geqslant 3} e^{-p^3y}\log p &= \int_0^{\infty} e^{-t^3y}\,d\vartheta_3(t) \\ &= \int_0^{\infty} 3t^2y\vartheta_3(t) e^{-t^3y}\,dt \\ &= \int_0^{\infty} y\vartheta_3(\sqrt[3]{u})e^{-uy}\,du \\ &\leqslant 2\int_0^{\infty} y u^{1/3}e^{-uy}\,du \\ &= 2\Gamma \biggl(\frac{4}{3}\biggr)y^{-1/3} \end{align} où $\vartheta_3(t)$ est la somme des logarithmes des nombres premiers impairs $\leqslant t$ et nous avons utilisé l'estimation simple $\vartheta_3(t) \leqslant \vartheta(t) \leqslant 2t$ pour tous $t > 0$.
Cependant, nous voulons estimer les choses pour les petits $y$, donc nous ne pouvons pas garder $y$ loin de $0$. Néanmoins, ce qui précède est également utile pour cela. Premièrement, si$p \equiv 3 \pmod{4}$, alors nous avons une somme alternée, et $$\Biggl\lvert \sum_{m = 3}^{\infty} (-1)^m e^{-p^my}\Biggr\rvert \leqslant e^{-p^3y}\,,$$ ainsi nous avons une estimation similaire à $(1)$ avec dénominateur délimité de $0$ uniformément dans $y$. Ensuite, si [pour$p \equiv 1 \pmod{4}$] sur le côté gauche de $(1)$ nous laissons la somme commencer à $m = r \geqslant 3$ où $p^{r+1} > \frac{1}{y}$ nous obtenons une estimation $$\sum_{m = r}^{\infty} e^{-p^my} \leqslant 2e^{-p^ry} \leqslant 2e^{-p^3y}\,.$$ On peut alors estimer comme ci-dessus et obtenir $$\Biggl\lvert \sum_{(p,m) \in A(y)} (-1)^{m(p-1)/2}e^{-p^my}\log p\Biggr\vert \leqslant 4\Gamma\biggl(\frac{4}{3}\biggr)y^{-1/3}\,,$$ où $$A(y) = \{(p,m) : p \equiv 3 \pmod{4} \text{ or } p^{m+1}y \geqslant 1\}\,.$$ Il reste à montrer $$\sum_{\substack{p \equiv 1 \pmod{4} \\ m \geqslant 3 \\ p^{m+1}y < 1}} e^{-p^my}\log p \ll y^{-1/3} \tag{2}$$ pour $y < 1/5$, dire.
Pour chaque fixe $m$ à considérer en ce que nous avons $$\sum_{p^{m+1} < y^{-1}} e^{-p^my}\log p \leqslant \sum_{p < y^{-1/(m+1)}} \log p \leqslant 2\cdot y^{-1/(m+1)} \leqslant 2y^{-1/4}\,,$$ et $5^{m+1} < y^{-1}$ implique $m+1 < \frac{\lvert \log y\rvert}{\log 5}$, donc la somme sur le côté gauche de $(2)$ n'est pas plus grand que $$\frac{2}{\log 5}y^{-1/4}\log \frac{1}{y}$$ qui est d'ordre inférieur à $y^{-1/3}$.