Système multiplicatif d'un anneau et d'une catégorie
Si A est une catégorie, une classe de morphismes$S$dans A est dit être un système multiplicatif si$(a)$ il est fermé par composition, c'est-à-dire: $id_X$ est dans $S$ pour chaque $X$en A et à chaque fois$f$ et $g$sont des morphismes en A tels que la composition$gf$ a du sens, alors $gf$ est dans $S$; $(b)$ n'importe quel schéma de la forme $X\overset{f}\longrightarrow Y \overset{s}\longleftarrow Z$ avec $s$ dans $S$ peut être complété comme $\require{AMScd}$ \ begin {CD} W @> g >> Z \\ @VtVV @VVsV \\ X @ >> f> Y \ end {CD} avec$t$ dans $S$. La même chose avec toutes les flèches inversées. Finalement$(c)$ pour une paire de morphismes $f,g:X\to Y$ il existe $s$ dans $S$ avec $sf=sg$ si et seulement s'il existe $t$ dans $S$ avec $ft=gt$.
Ma question est la suivante: cette définition coïncide-t-elle avec la notion d' ensemble fermé multiplicatif pour tout anneau$R$ si on regarde $R$comme une catégorie Ab avec un seul objet? Certainement condition$(a)$ fournit exactement ce que nous désirons pour un ensemble multiplicatif fermé (c'est-à-dire un sous-ensemble $S\subseteq R$ tel que $1\in S$ et $x,y\in S\Rightarrow xy,yx\in S$), et si $R$ est commutative, $(b)$ et $(c)$ deviennent évidentes, mais dans le cas d'un anneau non commutatif, je ne trouve pas de preuve de ces conditions.
Quelqu'un pourrait-il fournir une preuve ou un contre-exemple? Si un contre-exemple est la réponse, y a-t-il une raison profonde pour laquelle cela ne fonctionne que dans le cas commutatif, ou c'est la notion de système multiplicatif à concevoir juste pour généraliser ces cas?
Réponses
Oui, cela coïncide, mais plutôt trivialement (dans le cas commutatif).
Voir votre anneau (unital commutatif) $R$comme une catégorie comme suit. La$R$-action de module de $R$ sur lui-même induit un morphisme $\iota: R \to \mathrm{Hom}_{\mathbb Z}(R,R)$, nous pouvons donc considérer la catégorie avec un seul objet (à savoir $R$) et l'ensemble des morphismes est $\iota(R)$. Le fait que cela forme un$\mathbf{Ab}$-category fait partie des axiomes d'un anneau. Il faut que l'anneau soit unital pour que le morphisme identitaire soit présent, et la commutativité vous donne les autres axiomes. Par exemple, si vous recevez$\require{AMScd}$ \ begin {CD} R @> f >> R @ <s << R \ end {CD} on vous donne essentiellement deux éléments de l'anneau d'origine$R$. Le diagramme peut facilement être complété en supposant que$R$ est commutative puisque $sf = fs$ conduit au diagramme commutatif $\require{AMScd}$ \ begin {CD} R @> f >> R \\ @VsVV @VVsV \\ R @ >> f> R \ end {CD} L' instruction (c) est prouvée de la même manière en prenant$t=s$. Je ne sais pas comment localiser les anneaux non commutatifs dans les sous-ensembles$S$ en général, mais je parierais que si ces idées avaient un sens, alors la localisation $S^{-1}R$ existerait quand $R$est non commutatif dans le cas particulier où ces axiomes catégoriques sont satisfaits, mais pas en général. J'ai lu ceci pour en savoir un peu plus sur la localisation non commutative, et cela ne me semble pas aussi inspirant que la contrepartie commutative.
J'espère que cela pourra aider,