Temps d’arrêt attendu du mouvement brownien sortant du canal [a, -b]

Aug 18 2020

Laisser $W(t)$être un mouvement brownien standard. Laisser$\tau$ être la première fois que $W(t)$ atteint l'un ou l'autre niveau "$a$"ou niveau"$-b$". Quelle est la manière la plus simple de calculer$\mathbb{E}[\tau]$?

Je suis en mesure de montrer la probabilité que $W(t)$ atteint le niveau "$a$" avant "$-b$"et vice versa, mais je ne parviens pas à calculer facilement l’attente du temps d’arrêt $\tau$.

Pour montrer la probabilité que $W(t)$ les coups "$a$" avant "$b$", Je suppose $\mathbb{E[\tau]}\leq \infty$, de sorte que par le théorème d'arrêt facultatif de Doob, $\mathbb{E}[W_{\tau}]=W(0)=0$(c'est-à-dire que le processus arrêté est une martingale). Ensuite:

$$ 0=\mathbb{E}[W_{\tau}]=a*\mathbb{P}(W_{\tau}=a)+ (-b)\mathbb{P}(W_{\tau}=-b) $$

Par définition de $\tau$, nous avons ça $\mathbb{P}(W_{\tau}=a)+\mathbb{P}(W_{\tau}=-b)=1$, pour que:

$$ a*\mathbb{P}(W_{\tau}=a)+ (-b)\mathbb{P}(W_{\tau}=-b) = \\ = a*\mathbb{P}(W_{\tau}=a)-b(1-\mathbb{P}(W_{\tau}=a)$$

Résoudre pour $\mathbb{P}(W_{\tau}=a)$ donne: $\mathbb{P}(W_{\tau}=a)=\frac{b}{a+b}$

Question 1 : comment pourrais-je facilement montrer cela$\mathbb{E}[\tau]\leq \infty$, afin que je puisse vérifier que je peux effectivement utiliser le théorème d'arrêt facultatif de Doob?

Question 2 : comment puis-je calculer$\mathbb{E}[\tau]$ de la manière la plus simple possible?

Réponses

1 MF14 Aug 18 2020 at 22:11

Vous savez probablement (et sinon, pouvez facilement vérifier) ​​que le processus $X_{t}=B_{t}^{2}-t$ est une martingale.

Considérez maintenant, car $n \in \mathbb{N}$, les temps d'arrêt (limités) $$T_{n}=T \wedge n$$

Appliquer le théorème d'arrêt facultatif sur $T_{n}$ en notant que $B_{T_{n}} \le \max(a,b)$ et $T_{n} \le n$

Utilisez le théorème de convergence monotone pour obtenir $$E[T]=\lim_{n\rightarrow \infty}E[T_{n}]= \lim_{n\rightarrow \infty} E[B_{T_{n}}^{2}] \le \max(a^2,b^2)< \infty$$

Utilisez maintenant la convergence dominée pour conclure $$\lim_{n\rightarrow \infty} E[B_{T_{n}}^{2}] = E[B_{T}^{2}] = a^2 P(B_{T}=a) + b^2 P(B_{T}=b)$$

que vous connaissez déjà.

Cela vous donne $E[T]$.