Tout sous-ensemble compact et convexe de $\mathbb{R}^n$ est une rétraction de déformation de $\mathbb{R}^n$

Question

Je regarde une question du chapitre 32 de la topologie générale de Willard :

Tout sous-ensemble compact et convexe de $\mathbb{R}^n$ est une rétraction de déformation de $\mathbb{R}^n$

J'ai du mal à savoir par où commencer avec cet exercice, car je n'ai aucune intuition quant à la raison pour laquelle la compacité est liée à la (déformation) se rétracte.

Je pense que je devrai utiliser les faits / définitions suivants:

1. Laisser $X := \mathbb{R}^n$. Si$Y \subseteq X$ est convexe, alors tout $f,g \in C(X,Y)$ sont homotopiques.
2. Un sous-ensemble $A \subseteq X$ est un retrait de $X$ si $\exists r \in C(X,A)$ tel que $r(a) = a,$ pour chaque $a \in A$. C'est une rétraction de déformation de$X$ si $r$ est homotopique (comme une carte en $X$) à $1_X$ (la fonction d'identité sur $X$).
3. Un sous-ensemble $E \subseteq X$ est compacte si chaque couverture de $E$ par des ensembles ouverts de $X$a une sous-couverture finie. (Edit: d'après les commentaires, je veux probablement utiliser le fait que tout sous-ensemble compact de$\mathbb{R}^n$ est fermé et borné).

Toute aide, y compris des conseils sur la façon de commencer à aborder cette question, est appréciée.

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Edit: Sur la base d'un commentaire, j'ai essayé de montrer que le disque d'unité fermée$D = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 \leq 1\}$ est une rétraction de déformation de $\mathbb{R}^2$. Je pense que je l'ai montré ci-dessous, mais je n'ai pas trouvé cela particulièrement éclairant, donc je me demande si j'ai sauté quelque chose ou peut-être que ma "preuve" de cela n'est pas correcte.

$D$ est un sous-ensemble compact et convexe de $\mathbb{R}^2$ et la fonction $r: \mathbb{R}^2 \to D$ donné par:

$r((x,y)) = \left\{ \begin{array}{ll} (x,y) & \quad x^2+y^2 < 1 \\ \big(\frac{x}{x^2 + y^2},\frac{y}{x^2+y^2}\big) & \quad x^2+y^2 \geq 1 \end{array} \right.$

est une rétractation, comme $r(d) = d$ pour chaque $d \in D$et c'est continu. En effet,$D$est une rétraction de déformation; si nous voyons$r$ comme une carte de $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, on voit que c'est une fonction continue de $\mathbb{R}^2$ dans un sous-ensemble convexe (clairement $\mathbb{R}^2$ est un sous-ensemble convexe de lui-même) et donc par le fait 1 ci-dessus, toute fonction continue, y compris la fonction d'identité $1_{\mathbb{R}^2}$, est homotope à $r$.

Tout commentaire sur cette première tentative serait apprécié, car je ne vois vraiment pas comment cela clarifie la situation plus générale.

Answer 1

Nous généraliserons cela en prouvant que

Tout sous-ensemble convexe fermé de $\mathbb R^n$ est une forte rétraction de déformation de $\mathbb R^n$.

Laisser $C$ être un sous-ensemble convexe fermé de $\mathbb R^n$. Pour chaque$x \notin C$ nous avons $$d(x,C) = \inf\{\lVert x - y \rVert : y \in C \} > 0 ,$$ car sinon on trouverait une séquence $(y_n)$ dans $C$ tel que $y_n \to x$. Mais alors nous aurions$x \in C$ puisque $C$ est fermé.

Notez que la définition de $d(x,C)$est basé sur la norme euclidienne . Ce sera essentiel pour notre preuve. Voir la remarque ci-dessous.

Il existe $y \in C$ tel que $\lVert x - y \rVert = d(x,C)$. En fait, laissez$y_n \in C$ tel que $\lVert x - y_n \rVert < d(x,C) + 1/n$. Cette séquence est délimitée par$\lVert x \rVert + d(x,C) + 1$, a donc une sous-séquence convergente, nous pouvons donc supposer que wlog $(y_n)$ converge vers certains $y \in \mathbb R^n$. Puisque$C$ est fermé, nous avons $y \in C$ et $\lVert x - y \rVert = d(x,C)$.

Nous prétendons que $y$ est unique parce que $C$est convexe. Alors suppose que$y' \in C$ est le point $y' \ne y$ tel que $\lVert x - y \rVert = \lVert x - y' \rVert$. Les points$x, y, y'$ enjamber un plan euclidien affine $E^2 \subset \mathbb R^n$et forment un triangle isocèle. Le point médian$y'' = 1/2 y + 1/2y'$ du segment de ligne entre $y, y'$ est contenu dans $C$. Les points$x,y, y''$ forment un triangle rectangle, ainsi $\lVert x - y \rVert^2 = \lVert x - y'' \rVert^2 + \lVert y - y'' \rVert^2$ qui donne $\lVert x - y \rVert > \lVert x - y'' \rVert$, une contradiction.

Remarque: comme indiqué dans un commentaire de copper.hat, nous utilisons une propriété spéciale de la norme euclidienne$\lVert - \rVert$: Il est strictement convexe, ce qui signifie que toute balle fermée $B$ est un ensemble strictement convexe en ce sens que chaque point du segment de droite reliant deux points $x, y \in B$ autre que les extrémités se trouve à l'intérieur de $B$. J'ai prouvé un cas particulier de ceci (pour le point médian du segment de droite) en utilisant le théorème de Pythagore. Notez que d'autres normes peuvent ne pas avoir cette propriété.

Définir $$r : \mathbb R^n \to C, r(x) = \begin{cases} x & x \in C \\ \text{unique } y \in C \text{ such that } \lVert x - y \rVert = d(x,C) & x \notin C \end{cases}$$

Prouvons que $r$ est continue (c'est-à-dire que $r$est une rétractation). La continuité est évidente dans tous les points intérieurs de$C$.

Considérons maintenant un point limite $\xi$ de $C$. Laisser$\epsilon > 0$ et $x \in \mathbb R^n$ tel que $\lVert x - \xi \rVert < \epsilon/2$. Nous prétendons que$\lVert r(x) - r(\xi) \rVert = \lVert r(x) - \xi \rVert < \epsilon$. C'est trivial pour$x \in C$. Pour$x \notin C$ nous avons $\lVert r(x) - \xi \rVert \le \lVert r(x) - x \rVert + \lVert x - \xi \rVert = d(x,C) + \lVert x - \xi \rVert \le 2 \lVert x - \xi \rVert < \epsilon$.

Considérons enfin un point $\xi \notin C$. Dans la suite, il sera utile de dessiner des images pour comprendre géométriquement ce qui se passe.

Nous commençons par une préparation. Laisser$P^{n-1}(x)$ désignent l'hyperplan affine qui contient $r(x)$ et est orthogonal à la ligne passant par $x$ et $r(x)$ (c'est à dire $P^{n-1}(x) = \{r(x) + y : \langle y, x - r(x) \rangle = 0\}$ , où $\langle -, - \rangle$désigne le produit intérieur standard). C'est l'hyperplan tangent de la sphère$S^{n-1}(x;d(x,C))$ avec centre $x$ et rayon $d(x,C)$ à ce point $r(x)$. $P^{n-1}(x)$ se divise $\mathbb R^n$en deux demi-espaces ouverts. Laisser$H^n(x)$ désigne le demi-espace ouvert contenant $x$ (c'est à dire $H^n(x) = \{r(x) + y : \langle y, x - r(x) \rangle > 0\}$). Nous prétendons que$H^n(x) \cap C = \emptyset$. Supposons qu'il existe$y \in H^n(x) \cap C$. Les points$x, r(x), y$ sont contenus dans un plan euclidien affine $E^2 \subset \mathbb R^n$ (si $y$ se trouve sur la ligne à travers $x$ et $r(x)$, puis $E^2$n'est pas unique , mais cela n'a pas d'importance). L'ensemble$S' = E^2 \cap S^{n-1}(x;d(x,C))$ est un cercle dans $E^2$, et $L = E^2 \cap P(x)$ est la ligne tangente à $S'$ à $r(x)$. Le cercle$S'$ limite le disque ouvert $D^2(x,d(x,C)) \subset E^2$ avec centre $x$ et rayon $d(x,C)$. Clairement$y \notin D^2(x,d(x,C))$ parce que sinon $d(x,C) \le \lVert y - x \rVert < d(x,C)$. La ligne$L(y)$ à travers $y$ et $r(x)$ est différent de $L$, Donc $D^2(x,d(x,C)) \cap L(y)$n'est pas vide. Laisser$y' \in D^2(x,d(x,C)) \cap L(y)$. Puisque$y \notin D^2(x,d(x,C))$, le point $y'$ est compris entre $y$ et $r(x)$, Donc $y' \in C$ car $C$est convexe. Donc$d(x,C) \le d(x,y') < d(x,C)$, une contradiction.

Maintenant, laisse $ 0 < \epsilon \le d(x,C)$ et $x \in \mathbb R^n$ tel que $\lVert x - \xi \rVert < \epsilon/2$. Notez que cela assure$x \in H^n(\xi)$. Nous prétendons que$\lVert r(x) - r(\xi) \rVert < \epsilon$. Laisser$\rho(x) \in P^{n-1}(\xi)$ être le point unique tel que la ligne $L_x$ à travers $x$ et $\rho(x)$ est orthogonal à $P^{n-1}(\xi)$. Nous avons$\lVert \rho(x) - r(\xi) \rVert < \epsilon/2$: Notez que dans le quadrilatère avec des sommets $\xi, x, r(\xi), \rho(x)$ (qui enjambent un plan euclidien affine $E^2 \subset \mathbb R^n$) les bords $\overline{\xi r(\xi)}$ et $\overline{x \rho(x)}$ sont parallèles à la distance $\lVert \rho(x) - r(\xi) \rVert$, Donc $\lVert \rho(x) - r(\xi) \rVert \le$ longueur du bord $\overline{x \xi}$ lequel est $\lVert x - \xi \rVert < \epsilon/2$. Nous avons$d(x,C) \le d(x,r(\xi))$, Donc $r(x)$ est contenu dans la boule fermée $\bar D^n(x,d(x,r(\xi))) \subset \mathbb R^n$ avec centre $x$ et rayon $d(x,r(\xi))$. Puisque$H^n(\xi) \cap C = \emptyset$, nous devons avoir $r(x) \in D' = \bar D^n(x,d(x,r(\xi))) \cap G^n(\xi)$, où $G^n(\xi) = \mathbb R^n \setminus H^n(\xi)$ est le demi-espace fermé délimité par $H^{n-1}(\xi)$ et ne contenant pas $\xi$. Le carrefour$D'' = \bar D^n(x,d(x,r(\xi))) \cap P^{n-1}(\xi)$ est une balle fermée dans $P^{n-1}(\xi)$ avec centre $\rho(x)$ et rayon $R = \lVert \rho(x) - r(\xi) \rVert < \epsilon$. Donc$D'$ est un dôme sphérique de $\bar D^n(x,d(x,r(\xi)))$ avec socle $D''$. Le diamètre de$D'$ est égal au diamètre de $D''$ lequel est $2R$. Donc$\lVert r(x) - r(\xi) \rVert \le 2R < \epsilon$.

$r$est en fait une forte déformation de rétraction. Regarder$$H: \mathbb R^n \times I \to \mathbb R^n, H(x,t) = (1-t)x + tr(x) .$$