Toute fonction holomorphe sur une variété complexe compacte est localement constante？

Question

Nous savons que si $X$ est une variété complexe compacte connectée, alors chaque fonction holomorphe sur $X$est constante. Maintenant, je suppose que$X$n'est pas nécessairement connecté, alors nous pouvons choisir un composant connecté. Nous savons que le composant connecté est un sous-ensemble fermé et que chaque sous-ensemble fermé d'un ensemble compact est également compact. Ainsi, le composant connecté est également compact, alors nous pouvons en déduire que chaque fonction holomorphe sur le composant connecté est constante. On peut alors en déduire que toute fonction holomorphe sur$X$ est localement constant.

Je pense que ce n'est peut-être pas correct, mais je ne trouve pas où est le problème dans ma preuve ci-dessus.

Answer 1

C'est correct. Cependant, quand les gens disent «collecteur compact», ils veulent presque toujours dire collecteur compact connecté. Au contraire, il n'y a généralement rien à gagner en traitant des variétés compactes non connectées, car nous pourrions aussi bien regarder chaque composant connecté.

(Pour les variétés non compactes, c'est potentiellement plus délicat, car nous avons des choses comme $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ qui est une union disjointe de deux variétés, mais elles sont en quelque sorte «touchantes» et, dans un certain sens, intrinsèquement différentes de $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$, par exemple.)