Toutes les formes symétriques bilinéaires non dégénérées sur un espace vectoriel complexe sont isomorphes

Question

Toutes les formes symétriques bilinéaires non dégénérées sur un espace vectoriel complexe sont isomorphes. Cela signifie-t-il que, étant donné une forme symétrique bilinéaire non dégénérée sur un espace vectoriel complexe, vous pouvez choisir une base pour l'espace vectoriel telle que la représentation matricielle de la forme bilinéaire soit la matrice identité? Quelqu'un peut-il m'expliquer pourquoi c'est?

Je pense qu'une matrice avec des entrées dans$\mathbb{C}$va avoir une équation caractéristique qui se divise en facteurs linéaires (avec des multiplicités) et sera donc diagonalisable, mais ne peut toujours pas tout à fait assembler ces pièces. Aperçus appréciés !

Answer 1

La réponse est oui.

Premièrement, une preuve que les formes bilinéaires sont isomorphes. Notez qu'il suffit de prouver que cela vaut pour$\Bbb C^n$.

Tout d'abord, je prétends que toute matrice inversible, complexe et symétrique peut être écrite sous la forme$A = M^TM$pour une matrice complexe$M$. Cela peut être vu, par exemple, comme une conséquence de la factorisation de Takagi .

Maintenant, laisse$Q$dénotent une forme bilinéaire symétrique sur$\Bbb C^n$, et laissez$A$désigne sa matrice au sens où$Q(x_1,x_2) = x_1^TAx_2$. Laisser$Q_0$désignent la forme bilinéaire canonique définie par$Q_0(x_1,x_2) = x_1^Tx_2$. Nous écrivons$A = M^TM$pour une matrice complexe inversible$M$.

Définir$\phi:(\Bbb C^n, Q) \to (\Bbb C^n, Q_0)$par$\phi(x) = Mx$. Il est facile de vérifier que$\phi$est un isomorphisme d'espaces de produits bilinéaires, de sorte que les deux espaces sont bien isomorphes.

Avec tout cela établi : on voit que le changement de base$y = Mx$est telle que$Q(x_1,x_2) = y_1^Ty_2$.