Transformation de Möbius entre deux ensembles [dupliquer]

Dec 14 2020

J'ai besoin d'aide pour construire une transformation de Möbius (qui existe, je pense) qui cartographie le domaine $\left\{z=x+i y \in \mathbb{C}: x^{2}+\frac{y^{2}}{4}<1\right\}$ sur $\{z=x+i y \in \mathbb{C}: y>0\}$

Réponses

J.G. Dec 14 2020 at 18:48

@MartinR et @Vercassivelaunos ont tous deux donné des explications géométriques concises pour lesquelles une telle transformation n'existe pas. Il est un exercice utile de le faire à la dure, pour ceux qui ne connaissent pas le circline -À-circline résultat .

Paramétrez le premier ensemble comme $x=r\cos t,\,y=2r\sin t$ avec $r\in[0,\,1),\,t\in[0,\,2\pi)$. Si$\frac{az+b}{cz+d}$ Fait le travail,$$\frac{ar\cos t+b+2iar\sin t}{cr\cos t+d+2icr\sin t}=\frac{(ar\cos t+b+2iar\sin t)(cr\cos t+d-2icr\sin t)}{c^2r^2(\cos^2t+4\sin^2t)+2cdr\cos t+d^2}$$a une part réelle positive pour tous ces $r,\,t$. De manière équivalente, nous avons besoin$$0<a\sin t\cdot(cr\cos t+d)-c\sin t\cdot(ar\cos t+b)=(ad-bc)\sin t$$pour tous $t$, ce qui ne fonctionne clairement pas.