Transformée de Fourier du potentiel de Coulomb en QFT
Je suis étudiant en master de physique des particules et je veux trouver le potentiel de Coulomb $V(r)$ de $\tilde{V}(p)$dans la théorie des champs de Schwartz-Quantum et le modèle standard ce que j'ai comme$\tilde{V}(p)$ à partir de 16,58 relation: $$ \tilde{V}(p)= \frac{e_{R}^{2}}{p_{\mu}p^{\mu}}\tag{16.58} $$ lequel $e_{R}$ est renormalisé chargé.ce que je fais pour obtenir $V(r)$ est: $$ V(r)=\int^{\infty}_{-\infty} \frac{d^{4}p}{(2\pi)^4} e^{ip_{\mu}x^{\mu}}\tilde{V}(p)=\int\frac{ d_{0}p d^3p}{(2\pi)^{4}}e^{ip_{0}t-ipxcos\theta}\frac{1}{p_{0}^{2}-p^{2}} $$ et prenez d'abord $d_{0}p$ sur le contour supérieur et: $$ \int d_{0}p e^{ip_{0}t}\frac{1}{(p_{0}-p)(p_{0}+p)}=i \pi (\frac{e^{ipt}}{2p}-\frac{e^{ipt}}{2p}) $$ donc: $$ V(r)=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^{4}}e^{-ipxcos\theta}i \pi (\frac{e^{ipt}}{2p}-\frac{e^{ipt}}{2p}) $$ écrire $d^{3}p=p^{2}dp d\phi dcos(\theta)$ nous avons: $$ V(r)=\int\frac{p^{2}dp d\phi dcos(\theta)}{(2\pi)^{4}}e^{-ipxcos\theta}i \pi (\frac{e^{ipt}}{2p}-\frac{e^{ipt}}{2p}) $$ prendre $dcos(\theta)$ intégrale et nous avons: $$ \int^{1}_{-1} e^{-ipxcos(\theta)} dcos(\theta) = \frac{i}{px}(e^{-ipx}-e^{ipx}) $$ retour à l'intégrale et finalement nous avons: $$ V(r)=\int^{\infty}_{0}\frac{p^{2}dp}{(2\pi)^{3}}i \pi (\frac{e^{ipt}}{2p}-\frac{e^{ipt}}{2p})\frac{i}{px}(e^{-ipx}-e^{ipx})=\frac{1}{16\pi^{2}x}(\int^{\infty}_{-\infty} dp e^{ip(x+t)}-\int^{\infty}_{-\infty}dp e^{ip(t-x)}) $$ qui est divergente et ce n'est pas $V(r)=\frac{-e_{R}^{2}}{4\pi r}$ quelqu'un peut-il m'aider là où je fais une erreur et me montrer le chemin?
Réponses
Attention, vous devrez effectuer la transformation vers l'arrière dans l'espace de Fourier 3D - pour le champ photonique $p^2 = 0$, ainsi votre expression originale à partir de laquelle commencer n'a pas beaucoup de sens. En dehors de cela, le champ de Coulomb classique ne dépend pas du temps, ce qui dans un autre indice pour la transformation 3D.
Dans le livre de Schwartz, cela se fait au Ch. 3.4.2 (potentiel de Coulomb).
Récapitulatif de ses résultats:
$$ V(r) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{e_R^2}{p^2} = \int \frac{e^2_R}{(2\pi)^3} e^{-ipr\cos\theta} \sin\theta \, d\theta d\phi dp = \frac{e^2_R}{(2\pi)^2} \frac{1}{ir}\int^\infty_0 dp \frac{e^{ipr}-e^{-ipr}}{p} = \frac{e_R^2}{4\pi r} $$
où dans la dernière étape j'ai utilisé le résultat connu de l'intégrale de Dirichlet:
$$ \int^\infty_0 \frac{e^{iz}}{z}dz = i \frac{\pi}{2} $$
J'espère que cela t'aides.