Trouver la trace d'un système explicitement
Considérez que nous travaillons avec un système commun composé du système A avec base $|\alpha_j\rangle$ et système B avec base $|\beta_j\rangle$.
Dans mes notes, l'opérateur de densité est noté comme suit:
$$\space\space\rho = \sum_{j,k,l,m} \langle\alpha_j| \langle\beta_k |\rho |\alpha_l\rangle |\beta_m\rangle |\alpha_j\rangle |\beta_k\rangle \langle\alpha_l| \langle \beta_m|$$
où mes notes indiquent que $$ \rho_{jklm} = \langle\alpha_j| \langle\beta_k |\rho |\alpha_l\rangle |\beta_m\rangle $$
Ils énoncent également les équations suivantes pour la trace de A et la trace de B: $$\rho_\beta = Tr_\alpha(\rho) = \sum_{l,m}(\sum_{j} \rho_{j,l,j,m}) |\beta_l\rangle \langle\beta_m| $$
$$\rho_\alpha = Tr_\beta(\rho) = \sum_{j,k}(\sum_{l} \rho_{j,l,k,l}) |\alpha_j\rangle \langle\alpha_k| $$
Ma principale question est de savoir comment écrire $\rho_{j,l,k,l}$ et $\rho_{j,l,j,m}$ explicitement car ce que j'obtiens ne semble pas être d'accord avec un exemple travaillé dans mon livre et je suis donc assez confus.
Merci
Réponses
Eh bien parce que si je devais le faire moi-même, je l'écrirais comme suit: $\rho_{jlkl} =\langle \alpha_j|\langle \beta_l| \rho |\alpha_k\rangle |\beta_l\rangle $ Cependant, je ne suis pas sûr car les exemples travaillés que j'ai vus suggèrent ce qui suit $\rho_{jlkl} =\langle \alpha_j|\langle \beta_l| \rho |\beta_l\rangle |\alpha_k\rangle $.
Il semble que vous ne comprenez pas bien l'idée d'un produit tensoriel d'états, je vais donc l'examiner brièvement. Laisser$\mathcal H_A$ et $\mathcal H_B$ être des espaces de Hilbert, et laissez $\alpha \in \mathcal H_A$ et $\beta \in \mathcal H_B$. Le produit tenseur de$\alpha$ et $\beta$ est la paire ordonnée $(\alpha,\beta)$ qui a les propriétés suivantes:
- $(\alpha,\beta+\gamma)=(\alpha,\beta)+(\alpha,\gamma)$ pour tous $\alpha\in\mathcal H_A, \beta,\gamma \in \mathcal H_B$
- $(\alpha+\delta,\beta)=(\alpha,\beta)+(\delta,\beta)$ pour tous $\alpha,\delta \in \mathcal H_A, \beta \in \mathcal H_B$
- $\lambda (\alpha,\beta) = (\lambda \alpha,\beta) = (\alpha,\lambda \beta)$ pour tous $\lambda \in \mathbb C, \alpha\in\mathcal H_A, \beta \in \mathcal H_B$
Plutôt que d'écrire $(\alpha,\beta)$ pour le produit tensoriel, c'est la notation standard d'écrire $\alpha \otimes \beta$.
Le produit tenseur des espaces de Hilbert $\mathcal H_A$ et $\mathcal H_B$ est l'espace de tous les produits tensoriels de la forme $\alpha\otimes \beta$ avec $\alpha\in\mathcal H_A$ et $\beta \in \mathcal H_B$, et toutes leurs combinaisons linéaires . Le produit intérieur de cet espace est considéré comme
$$\bigg< (\alpha,\beta), (\gamma,\delta)\bigg>_{\mathcal H_A\otimes \mathcal H_B} := \left<\alpha,\gamma\right>_{\mathcal H_A} \cdot \left<\mathcal \beta ,\mathcal \delta\right>_{\mathcal H_B}$$
Par conséquent, un élément $\psi \in \mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$ pourrait ressembler à
$$\psi= \alpha\otimes \beta + 3\gamma \otimes \delta$$
Il ressort clairement de la définition que $\alpha$ et $\gamma$ appartenir à $\mathcal H_A$ tandis que $\beta$ et $\delta$ appartenir à $\mathcal H_B$. Encore une fois par convention standard, nous réutilisons le symbole$\otimes$ et dénotons le produit tensoriel des espaces de Hilbert par $\mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$.
Si vous souhaitez travailler avec la notation Dirac, vous pouvez écrire quelque chose comme $|\psi\rangle = |\alpha\rangle \otimes |\beta \rangle$. Le soutien-gorge correspondant serait$\langle \psi| = \langle \alpha| \otimes \langle \beta |$. Si nous laissons$|\phi\rangle = |\gamma\rangle \otimes |\delta \rangle$, puis
$$\langle \psi|\phi\rangle = \bigg(\langle \alpha| \otimes \langle \beta|\bigg) \bigg( |\gamma \rangle \otimes |\delta \rangle\bigg) = \langle \alpha|\gamma\rangle \cdot \langle \beta|\delta\rangle$$
La convention est que, que vous parliez d'un soutien-gorge ou d'un ket, la première quantité du produit tensoriel appartient à $\mathcal H_A$ (ou son double espace) et le second appartient à $\mathcal H_B$ (ou son double espace).
Avec tout cela étant dit, votre expression
$$\rho_{j,l,k,l} = \langle\alpha_j| \langle\beta_l |\rho |\beta_l\rangle |\alpha_k\rangle$$
Cela n'a pas de sens pour moi, car le produit tensoriel ket à droite est dans le mauvais ordre.
Tout d'abord, il convient de noter que la façon dont vous comprenez $\rho_{ijk\ell}$est avant tout une question de convention. Cela dit, certaines conventions sont certainement plus «naturelles» que d'autres.
Une façon d'y penser est que les composants matriciels de $\rho$ dans un espace composite $\mathcal H\equiv \mathcal X\otimes\mathcal Y$ne sont rien d'autre que cela: des composants de matrice dans un certain espace. Si vous utilisez les indices$I,J$ étiqueter les éléments d'une base de $\mathcal H$, vous pouvez écrire les composants de la matrice comme $$\rho_{I,J}\equiv \langle I|\rho|J\rangle, \qquad |I\rangle,|J\rangle\in\mathcal H.$$ Cependant, cette notation ne prend pas en compte la structure bipartite de $\mathcal H$. Pour ce faire, nous observons que nous pouvons toujours trouver une base de$\mathcal H$ qui est construit à partir de bases de $\mathcal X$ et $\mathcal Y$. On peut ainsi étiqueter les éléments de base de$\mathcal H$en utilisant deux indices, désignant les éléments de base correspondants de$\mathcal X$ et $\mathcal Y$. En d'autres termes, nous pouvons écrire$$\mathcal H = \mathrm{span}(\{|i,j\rangle\equiv|i\rangle\otimes|j\rangle : \quad |i\rangle\in\mathcal X, \,\,|j\rangle\in\mathcal Y\}).$$ Ensuite, au lieu d'un index $I$, nous utilisons une paire d'indices, disons $(i,j)$. Les éléments matriciels de$\rho$ alors deviens $$\rho_{(i,j),(k,\ell)} \equiv \langle i,j|\rho|k,\ell\rangle \equiv (\langle i|\otimes\langle j|)\rho(|k\rangle\otimes |\ell\rangle),$$où j'inclus différentes manières équivalentes d'écrire l'expression. Notez que j'ai écrit les indices "input" et "output" de$\rho$ en utilisant des paires $(i,j)$ et $(k,\ell)$ici, pour souligner les différents rôles des indices. Par souci de concision, on ne fait généralement pas cela, et on écrit simplement$\rho_{ijk\ell}$ vouloir dire $\rho_{(i,j),(k,\ell)}$.
Désormais, vous pouvez également décider d'utiliser $\rho_{ijk\ell}$ pour signifier quelque chose comme $\langle \ell,j|\rho|k,i\rangle$. Ce serait cependant une notation assez délicate.