Trouver le maximum de $x+y+z$ [fermé]

Nov 28 2020

Si des nombres positifs $x, y$ et $z$ satisfaire ça $xyz=1$, quelle est la valeur minimale pour $x+y+z$?

De $xyz=1$, on peut avoir $$x = \frac{1}{yz};\space\space\space y = \frac{1}{xz};\space\space\space z = \frac{1}{xy}; $$

Substituez-les en $x+y+z=1$ et j'ai eu$$\frac{xy+yz+xz}{xyz} = xy+yz+xz = 1$$

Puisque nous trouvons le minimum pour $x+y+z$, J'ai pensé utiliser la formule $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)$ en raison du fait que nous avons la valeur de $xy+yz+xz$.

C'est tout ce que j'ai jusqu'à présent. Comment puis-je continuer?

Réponses

2 Jethalal Nov 28 2020 at 22:13

Utiliser l'inégalité AM-GM,

$$\frac{x+y+z}{3} \ge \sqrt [3]{xyz}$$

$$x+y+z \ge 3$$

Le minimum est $3$ et il n'y a pas de maximum.

1 YvesDaoust Nov 28 2020 at 22:05

Par géométrie:

La surface de l'équation $xyz=1$(je ne connais pas son nom) est une cubique avec une forme "hyperbolique", car toute section transversale par un plan d'une coordonnée constante est une hyperbole. Il a une symétrie d'ordre$3$ autour de l'axe $x=y=z$, et est ouvert vers l'infini.

Les coupes par l'avion $x+y+z=c$ sont des courbes fermées, à partir de $c=3$ et s'élargissant de façon monotone et illimitée.

Le minimum est $c=3$ et il n'y a pas de maximum.