Trouver tous les groupes finis$G$st pour tout$a,b\in G$Soit$a$est une puissance de$b$ou$b$est une puissance de$a$

Question

Trouver tous les groupes finis$G$st pour tout$a,b\in G$Soit$a$est une puissance de$b$ou$b$est une puissance de$a$

Je pense avoir montré que tous ces groupes sont$Z_{p^n}$pour$p$prime, est-ce exact? J'ai d'abord montré que le groupe doit être cyclique en considérant l'élément du plus grand ordre$\langle a\rangle$et parvenir à la contradiction si$\langle a\rangle\not= G$., et alors que si$Z_n$avec$n$composite alors il n'a pas cette propriété. car il existe deux sous-groupes cycliques disjoints d'ordres premiers.

Est-ce correct? Tous les groupes sont-ils de tels groupes$Z_{p^n}$?

Answer 1

C'est correct. Eh bien, à part le truc des "sous-groupes disjoints". Les sous-groupes sont « presque disjoints », c'est-à-dire que leur intersection est réduite à l'élément d'identité, mais ils ne peuvent pas être littéralement disjoints.

Answer 2

Oui, si vous prenez$a$d'ordre maximal et, par contradiction, il y a$b\notin\langle a\rangle$, alors$a=b^n$pour certains$n>1$, alors$b$a une plus grande commande que$a$.

Par conséquent$G$est cyclique.

Nous pouvons maintenant prouver que l'ordre de$G$doit être une puissance première : vous ne pouvez pas exclure "composite" (un lapsus mineur, mais pertinent).

Si$|G|$est divisible par deux nombres premiers distincts$p$et$q$, alors$G$a des sous-groupes d'ordre$p$et$q$, mais ceux-ci ont une intersection triviale, de sorte que le groupe ne peut pas avoir la propriété indiquée.

Un groupe d'ordre cyclique$p^n$($p$un nombre premier) a la propriété indiquée.