Trouver un certain groupe $G$ avec $H,K\unlhd G$, $H\cong K$ et $(G/H)\ncong(G/K)$ [dupliquer]
J'essaye de résoudre un problème de mon livre de théorie de groupe. Ça dit:
Trouver un certain groupe $G$ avec $H,K\unlhd G$, qui vérifie $H\cong K$ mais $(G/H)\ncong(G/K)$.
Je ne sais pas quel groupe envisager. Au début j'ai pensé au quaternion$Q_8$, mais je n'ai pas trouvé de solution (dans mon livre, ce genre d'exercices permet d'utiliser le $Q_8$). Ensuite, j'ai considéré les groupes de morts$D_n$ et le symétrique $Sn$mais aussi rien. Quelle est une solution possible à ce problème? Toute aide sera appréciée, merci d'avance.
Réponses
Alors vous pouvez simplement considérer $G = \mathbb Z, H= 2 \mathbb Z, K = 3 \mathbb Z$. ensuite$H \cong K$ mais $\lvert G / H \rvert = 2$ et $\lvert G / K \rvert = 3$, Par conséquent $G / H \not\cong G / K$.