Un calcul dans le domaine des fonctions rationnelles.

Nov 29 2020

Dans Dummit et Foote 3 éd., Chapitre 14, section 2, exercice 30, on me demande ce qui suit:

Laisser $ k $ être un champ, $ k(t) $ le champ des fonctions rationnelles dans la variable $ t $. Définir les cartes$ \sigma $ et $ \tau \in Aut(k(t)/k) $ par $$ \sigma f(t) = f \left( \frac{1}{1-t} \right) \quad \tau f(t) = f \left( \frac{1}{t} \right) $$ pour $ f(t) \in k(t) $. Prouvez que le champ fixe de$ \langle \tau \rangle $ est $ k \left( t + \frac{1}{t} \right) $, le champ fixe de $ \langle \tau \sigma^2 \rangle $ est $ k(t(1-t)) $; déterminer le champ fixe de$ \langle \tau \sigma \rangle $ et $ \langle \sigma \rangle $.

La seule partie de cela avec laquelle je lutte est le champ fixe de $ \langle \sigma \rangle $. Appelez ce champ fixe$ E = k(s) $, où $ s = P(t) / Q(t) \in k(t) $est une fonction rationnelle. Remarquez , je suppose ici que$ E $ est de la forme $ k(s) $, et jusqu'à présent ne peut pas justifier cela a priori . J'ai montré dans un exercice précédent du dernier chapitre que$ [k(t) : k(s)] = \max \left\{ \deg P(t), \deg Q(t) \right\} $, donc, depuis $ k(t)/k(s) $ est une extension Galois ($k(s)$ étant le champ fixe d'un sous-groupe d'automorphismes), j'attends $$ \max \left\{ \deg P(t), \deg Q(t) \right\} = [k(t) : k(s)] = |\langle \sigma \rangle| = 3 $$ Tout ce que j'ai pu accomplir à ce stade était la résolution d'équations par force brute par ordinateur, $$ s = \frac{a_3 t^3 + a_2 t^2 + a_1 t + a_0}{b_3 t^3 + b_2 t^2 + b_1 t + b_0} $$ et résoudre les équations résultant de $ \sigma s = s $. J'ai ainsi trouvé l'élément$ s = \frac{t^3 - 3t + 1}{t(t-1)} $. Par conséquent, je suis enclin à conclure que$ k \left( \frac{t^3 - 3t + 1}{t(t-1)} \right) $ est le champ fixe de $ \langle \sigma \rangle $. Cette approche semble inélégante, et j'aimerais savoir quels outils j'aurais pu utiliser pour éviter une recherche informatique insatisfaisante et opaque.

Réponses

3 reuns Nov 30 2020 at 02:05

Pour $G$ un sous-groupe fini de $Aut(k(t)/k)$ alors le sous-champ fixe est $k(t)^G=k(a_0(t),\ldots,a_{|G|-1}(t))$$\prod_{g\in |G|} (X-g(t))=\sum_{m=0}^{|G|} a_m(t) X^m$.

Puis prenez n'importe quel coefficient non constant $a_m(t)$, parce que chacun $g(t) = \frac{e_g t+b_g}{c_g t+d_g}$ est une transformation de Möbius on obtient que $a_m(t)$ a au plus $|G|$ pôles comptés avec multiplicité (y compris le pôle à $\infty$), Donc $[k(t):k(a_m(t))]\le |G|=[k(t):k(t)^G]$ ce qui implique que $$k(t)^G=k(a_m(t))$$

Edit by OP: pour ce problème, la technique produit l'élément $ a_2(t) = \frac{t^3 - 3t + 1}{t(t-1)} $, réifiant les calculs informatiques.