Un modèle standard de$\sf ZFC$contenir tous les ordinaux sans être transitif ?

Aug 18 2020

Par modèle standard de ZFC, j'entends un modèle de ZFC qui peut être un ensemble ou une classe propre et dont la relation d'élémentalité est la vraie relation d'élémentalité. Un modèle transitif de ZFC est un modèle standard de ZFC qui est également une classe transitive. D'après le lemme d'effondrement de Mostowski, chaque modèle standard de ZFC est isomorphe, via un isomorphisme unique, à un modèle transitif unique de ZFC. Ma question est la suivante: peut-on toujours "déplier" un modèle transitif de ZFC en un modèle standard mais non transitif de ZFC? Par exemple, existe-t-il un modèle standard non transitif de ZFC isomorphe au modèle interne minimal$L$? Et aussi, existe-t-il un modèle standard non transitif de ZFC contenant tous les ordinaux qui est isomorphe au modèle interne minimal$L$?

Edit: Compte tenu des commentaires utiles faits (la réponse aux deux premières questions est oui), la seule question qui me reste est la dernière: existe-t-il un modèle standard non transitif de ZFC contenant tous les ordinaux isomorphes à l'intérieur minimal maquette$L$? Si non, alors$L$n'est pas seulement le modèle intérieur minimal, c'est le modèle standard minimal contenant tous les ordinaux. Plus généralement, existe-t-il un modèle standard non transitif de ZFC contenant tous les ordinaux ?

Réponses

1 AsafKaragila Sep 12 2020 at 16:56

J'ai supprimé ma réponse précédente car elle était fausse, comme l'a souligné Rodrigo Freire dans les commentaires.

En fait, il est possible d'avoir un modèle non transitif dont les ordinaux sont un segment initial des ordinaux. Dis ça$M$est un modèle transitif tel que$M\neq V_\alpha$pour toute$\alpha\in\rm Ord\cup\{Ord\}$(où$V_{\rm Ord}$n'est que l'univers entier). Alors il y a un plus petit$\alpha$tel$\alpha\in M$et$\mathcal P(\alpha)^M\neq\mathcal P(\alpha)$.

Définir$N$être le modèle obtenu en remplaçant récursivement$\mathcal P(\alpha)^M$par$\mathcal P(\alpha)$, ou même simplement ajouter un nouvel ensemble à cette collection. Alors$N$est un modèle standard, ses ordinaux sont un segment initial des ordinaux, mais il n'est pas transitif.

Si nous prenons$M=L$et$V\neq L$, alors on peut bien sûr obtenir un modèle de$V=L$qui n'est pas$L$.

1 RodrigoFreire Sep 12 2020 at 19:26

Asaf Karagila a répondu à la question, mais j'ai pensé à des résultats partiels pour la minimalité de$L$dans le sens de sa réponse précédente, comme demandé par Jesse Elliot dans son dernier paragraphe.

Tout d'abord, excusez-moi de dire que je pense que la théorie des ensembles n'a pas beaucoup utilisé les modèles standard (au sens de cette question) parce qu'ils sont isomorphes aux modèles transitifs. Donc, nous ne sommes pas très habitués à eux. Cependant, en fait, il est facile de "déplier" un modèle transitif$M$: prendre un élément$a\in M$et le remplacer partout transitivement par$a\cup \left\{a\right\}$. Si$a$n'est pas un ordinal, alors le modèle standard résultant partagera les ordinaux de$M$.

Maintenant, dans une direction plus positive, étudions un résultat de minimalité partielle pour$L$:

-Laisser$M\subseteq L$Soit un modèle standard tel que ses ordinaux soient les vrais ordinaux. Alors$M=L$ssi l'ordre constructible$Od$(voir Shoenfield, ML, page 272) est absolu pour$L^M$.

preuve : remarquez d'abord que$L^M=\left\{x\in M : (x\in L)^M\right\}$est un modèle standard dont les ordinaux sont les ordinaux réels. Si$L^M$étaient transitifs, alors il inclurait$L$, Par conséquent$M$serait égal à$L$. Alors, supposons que$L^M$n'est pas transitif.

Laisser$K$être l'effondrement transitif de$L^M$. L'image de$K$est un modèle transitif de$ZF$contenant tous les ordinaux et contenus dans$L$, donc c'est$L$. Laisser$x$être un contre-exemple minimal à la transitivité de$L^M$. Alors$K(x)\neq x$, alors$Od(K(x))\neq Od(x)$(rappeler que$M\subseteq L$, Par conséquent$Od$est défini pour tous les éléments de$M$et est injectif). Depuis$K$est un isomorphisme de$L^M$à$L$,$K(Od^{L^M}(x))=Od(K(x))$. De l'hypothèse de l'absolu,$Od^{L^M}(x)=Od(x)$.