Un problème de géométrie difficile impliquant des divisions harmoniques
Soit triangle aigu $ABC$. Laisser$A_1$ et $A_2$ les intersections du cercle de diamètre $(BC)$ et l'altitude de $A$ à $BC$ ($A_1$ est plus proche de $A$ que $A_2$). Définir des points de manière similaire$B_1$, $B_2$, $C_1$, $C_2$. Laisser$A'$ l'intersection de $B_1C_2$ et $B_2C_1$. Définir des points de manière similaire$B'$ et $C'$. Prouve-le$AA'$, $BB'$ et $CC'$ d'accord.

Mon idée: ça aide peut-être de voir ça $(A,H;A_1,A_2)$ (où $H$ est l'orthocentre du triangle $ABC$) est une division harmonique. Aussi$H$ est le centre radical des 3 cercles dessinés, donc $B_1C_1B_2C_2$est cyclique (par puissance d'un point). Il est évident par la figure que$A'$ doit mentir $BC$. Mais je ne sais pas comment le prouver. Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît? Merci d'avance!
Si cela aide, le problème vient d'un livre roumain sur les divisions harmoniques, mais la solution est omise.
Réponses
Nous résolvons le problème en utilisant des coordonnées trilinéaires. L'altitude$AD$ est l'ensemble des points dont les coordonnées $x:y:z$ satisfaire $$y\cos B=z\cos C$$ Le cercle de diamètre $BC$ est défini de manière analogue, les points satisfaisant $$yz=x(x\cos A-y\cos B-z\cos C)$$ (Voir https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=coo.31924059323034&view=1up&seq=344 pour la référence.) Réglage arbitraire $x=1$ (puisque les coordonnées trilinéaires sont des rapports) et ensuite la résolution de $y,z$ nous donne les coordonnées de $A_1$ et $A_2$: $$A_{1,2}=1: -\cos C\pm\sqrt{\frac{\cos C}{\cos B}(\cos A+\cos B\cos C)}: -\cos B\pm\sqrt{\frac{\cos B}{\cos C}(\cos A+\cos B\cos C)}$$ Le signe plus donne $A_1$ et le signe moins donne $A_2$; $B_1,B_2,C_1,C_2$ peut être obtenu en permutant cycliquement $A,B,C$ dans l'équation ci-dessus.
Associez maintenant le vecteur $(u,v,w)^T$avec à la fois le point aux coordonnées$u:v:w$et la ligne $ux+vy+wz=0$. Il est bien connu que la ligne passant par les points$P_1$ et $P_2$ est $(\mathbf P_1×\mathbf P_2)\cdot(x,y,z)^T=0$ et que l'intersection des lignes $l_1$ et $l_2$ est $\mathbf l_1×\mathbf l_2$. Sur cette base, l'intersection des lignes$B_1C_2$ et $C_1B_2$ est $$A'=(\mathbf B_1×\mathbf C_2)×(\mathbf C_1×\mathbf B_2)$$ $$=0:(\cos A\cos C+\cos B)\sqrt{\cos C(\cos A\cos B+\cos C)}:(\cos A\cos B+\cos C)\sqrt{\cos B(\cos A\cos C+\cos B)}$$ Donc $A'$ se trouve sur $BC$comme vous vous en doutiez. La ligne$AA'$ alors a un vecteur normal $\mathbf l_A=\mathbf A'×(1,0,0)^T$, et de même pour $\mathbf l_B=BB'$ et $\mathbf l_C=CC'$ en permutant cycliquement $A,B,C$; le déterminant de la matrice formée par ces trois vecteurs est$$\begin{vmatrix}\mathbf l_A&\mathbf l_B&\mathbf l_C\end{vmatrix}=0$$ D'où les lignes $AA',BB',CC'$ concourent, comme il fallait le montrer, au point avec des coordonnées trilinéaires $$X=\sqrt{1+\frac{\cos B\cos C}{\cos A}}:\sqrt{1+\frac{\cos C\cos A}{\cos B}}:\sqrt{1+\frac{\cos A\cos B}{\cos C}}$$ $$=\frac1{a\sqrt{b^2+c^2-a^2}}:\frac1{b\sqrt{c^2+a^2-b^2}}:\frac1{c\sqrt{a^2+b^2-c^2}}$$ $$=\frac1{\sqrt{a\cos A}}:\frac1{\sqrt{b\cos B}}:\frac1{\sqrt{c\cos C}}$$
Voici le code SymPy que j'ai utilisé pour dériver toutes les expressions ci-dessus:
#!/usr/bin/env python3
from sympy import *
cA, cB, cC = symbols('cA cB cC', positive=True) # cos A, cos B, cos C
x, y, z = symbols('x y z', real=True)
def cycB(p): # ABC -> BCA
q = p.subs({cA: cB, cB: cC, cC: cA}, simultaneous=True)
return Matrix([q[2], q[0], q[1]])
def cycC(p): # ABC -> CAB
q = p.subs({cA: cC, cB: cA, cC: cB}, simultaneous=True)
return Matrix([q[1], q[2], q[0]])
f1 = y*cB - z*cC
f2 = cA - y*cB - z*cC - y*z
sols = solve([f1, f2], [y, z])
A1 = Matrix([1, sols[1][0].expand(), sols[1][1].expand()])
A2 = Matrix([1, sols[0][0].expand(), sols[0][1].expand()])
print("A1 =", A1)
print("A2 =", A2)
B1 = cycB(A1)
B2 = cycB(A2)
C1 = cycC(A1)
C2 = cycC(A2)
Ap = simplify( B1.cross(C2).cross(B2.cross(C1)) ) # A'
Ap *= sqrt(cA*cB*cC)/2
print("A' =", Ap)
lA = Ap.cross(Matrix([1, 0, 0]))
lB = cycB(lA)
lC = cycC(lA)
D = Matrix([lA.T, lB.T, lC.T])
pprint(D)
print("det(D) =", D.det()) # 0
X = D.nullspace()[0] * sqrt(cA*cB + cC) / sqrt(cC)
a, b, c = symbols('a b c', positive=True)
X = X.subs(cA, (b**2+c**2-a**2)/(2*b*c))
X = X.subs(cB, (c**2+a**2-b**2)/(2*c*a))
X = X.subs(cC, (a**2+b**2-c**2)/(2*a*b))
Delta = sqrt(-(a - b - c)*(a - b + c)*(a + b - c))*sqrt(a + b + c)/sqrt(2) # area of triangle
X = factor(X, deep=True) / Delta
print("X =", X.simplify())