Un problème de géométrie difficile impliquant des divisions harmoniques

Nov 30 2020

Soit triangle aigu $ABC$. Laisser$A_1$ et $A_2$ les intersections du cercle de diamètre $(BC)$ et l'altitude de $A$ à $BC$ ($A_1$ est plus proche de $A$ que $A_2$). Définir des points de manière similaire$B_1$, $B_2$, $C_1$, $C_2$. Laisser$A'$ l'intersection de $B_1C_2$ et $B_2C_1$. Définir des points de manière similaire$B'$ et $C'$. Prouve-le$AA'$, $BB'$ et $CC'$ d'accord.

Mon idée: ça aide peut-être de voir ça $(A,H;A_1,A_2)$ (où $H$ est l'orthocentre du triangle $ABC$) est une division harmonique. Aussi$H$ est le centre radical des 3 cercles dessinés, donc $B_1C_1B_2C_2$est cyclique (par puissance d'un point). Il est évident par la figure que$A'$ doit mentir $BC$. Mais je ne sais pas comment le prouver. Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît? Merci d'avance!

Si cela aide, le problème vient d'un livre roumain sur les divisions harmoniques, mais la solution est omise.

Réponses

1 ParclyTaxel Nov 30 2020 at 14:44

Nous résolvons le problème en utilisant des coordonnées trilinéaires. L'altitude$AD$ est l'ensemble des points dont les coordonnées $x:y:z$ satisfaire $$y\cos B=z\cos C$$ Le cercle de diamètre $BC$ est défini de manière analogue, les points satisfaisant $$yz=x(x\cos A-y\cos B-z\cos C)$$ (Voir https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=coo.31924059323034&view=1up&seq=344 pour la référence.) Réglage arbitraire $x=1$ (puisque les coordonnées trilinéaires sont des rapports) et ensuite la résolution de $y,z$ nous donne les coordonnées de $A_1$ et $A_2$: $$A_{1,2}=1: -\cos C\pm\sqrt{\frac{\cos C}{\cos B}(\cos A+\cos B\cos C)}: -\cos B\pm\sqrt{\frac{\cos B}{\cos C}(\cos A+\cos B\cos C)}$$ Le signe plus donne $A_1$ et le signe moins donne $A_2$; $B_1,B_2,C_1,C_2$ peut être obtenu en permutant cycliquement $A,B,C$ dans l'équation ci-dessus.

Associez maintenant le vecteur $(u,v,w)^T$avec à la fois le point aux coordonnées$u:v:w$et la ligne $ux+vy+wz=0$. Il est bien connu que la ligne passant par les points$P_1$ et $P_2$ est $(\mathbf P_1×\mathbf P_2)\cdot(x,y,z)^T=0$ et que l'intersection des lignes $l_1$ et $l_2$ est $\mathbf l_1×\mathbf l_2$. Sur cette base, l'intersection des lignes$B_1C_2$ et $C_1B_2$ est $$A'=(\mathbf B_1×\mathbf C_2)×(\mathbf C_1×\mathbf B_2)$$ $$=0:(\cos A\cos C+\cos B)\sqrt{\cos C(\cos A\cos B+\cos C)}:(\cos A\cos B+\cos C)\sqrt{\cos B(\cos A\cos C+\cos B)}$$ Donc $A'$ se trouve sur $BC$comme vous vous en doutiez. La ligne$AA'$ alors a un vecteur normal $\mathbf l_A=\mathbf A'×(1,0,0)^T$, et de même pour $\mathbf l_B=BB'$ et $\mathbf l_C=CC'$ en permutant cycliquement $A,B,C$; le déterminant de la matrice formée par ces trois vecteurs est$$\begin{vmatrix}\mathbf l_A&\mathbf l_B&\mathbf l_C\end{vmatrix}=0$$ D'où les lignes $AA',BB',CC'$ concourent, comme il fallait le montrer, au point avec des coordonnées trilinéaires $$X=\sqrt{1+\frac{\cos B\cos C}{\cos A}}:\sqrt{1+\frac{\cos C\cos A}{\cos B}}:\sqrt{1+\frac{\cos A\cos B}{\cos C}}$$ $$=\frac1{a\sqrt{b^2+c^2-a^2}}:\frac1{b\sqrt{c^2+a^2-b^2}}:\frac1{c\sqrt{a^2+b^2-c^2}}$$ $$=\frac1{\sqrt{a\cos A}}:\frac1{\sqrt{b\cos B}}:\frac1{\sqrt{c\cos C}}$$


Voici le code SymPy que j'ai utilisé pour dériver toutes les expressions ci-dessus:

#!/usr/bin/env python3
from sympy import *
cA, cB, cC = symbols('cA cB cC', positive=True) # cos A, cos B, cos C
x, y, z = symbols('x y z', real=True)

def cycB(p): # ABC -> BCA
    q = p.subs({cA: cB, cB: cC, cC: cA}, simultaneous=True)
    return Matrix([q[2], q[0], q[1]])
def cycC(p): # ABC -> CAB
    q = p.subs({cA: cC, cB: cA, cC: cB}, simultaneous=True)
    return Matrix([q[1], q[2], q[0]])

f1 = y*cB - z*cC
f2 = cA - y*cB - z*cC - y*z
sols = solve([f1, f2], [y, z])
A1 = Matrix([1, sols[1][0].expand(), sols[1][1].expand()])
A2 = Matrix([1, sols[0][0].expand(), sols[0][1].expand()])
print("A1 =", A1)
print("A2 =", A2)
B1 = cycB(A1)
B2 = cycB(A2)
C1 = cycC(A1)
C2 = cycC(A2)
Ap = simplify(  B1.cross(C2).cross(B2.cross(C1))  ) # A'
Ap *= sqrt(cA*cB*cC)/2
print("A' =", Ap)
lA = Ap.cross(Matrix([1, 0, 0]))
lB = cycB(lA)
lC = cycC(lA)
D = Matrix([lA.T, lB.T, lC.T])
pprint(D)
print("det(D) =", D.det()) # 0

X = D.nullspace()[0] * sqrt(cA*cB + cC) / sqrt(cC)
a, b, c = symbols('a b c', positive=True)
X = X.subs(cA, (b**2+c**2-a**2)/(2*b*c))
X = X.subs(cB, (c**2+a**2-b**2)/(2*c*a))
X = X.subs(cC, (a**2+b**2-c**2)/(2*a*b))
Delta = sqrt(-(a - b - c)*(a - b + c)*(a + b - c))*sqrt(a + b + c)/sqrt(2) # area of triangle
X = factor(X, deep=True) / Delta
print("X =", X.simplify())