Une fonction deux fois différentiable satisfaisant une équation différentielle

Question

La question est :

Laisser$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$être deux fois fonction dérivable satisfaisant

$f(x)+f''(x)=-xg(x)f'(x), x\in \mathbb{R} $où$g(x) \ge 0, \forall x\in \mathbb{R}$

Lequel des énoncés suivants est\sont vrai ?

$(1)$Si$f(0)=f'(0)=1$, alors$f(3)\lt 3$

$(2)$Si$f(0)=f'(0)=2$, alors$f(4)\lt 4$

$(3)$Si$f(0)=f'(0)=3$, alors$f(3)=5$

$(4)$Si$f(0)=f'(0)=3$, alors$f(3)=6$

Mes pensées:-

Je parlerai d'abord de$(3)$et$(4)$

Laisser$g(x)=0$

Alors avec quelques calculs, on peut montrer

$f(x)=3(\sin x+\cos x)$comme un candidat approprié pour rejeter$(3)$et$(4)$

Ici, pour l'option$(3)$

$f(3)=5$

$\Rightarrow \sin 3+\cos 3=\frac 53$

Sur la quadrature des deux côtés

$1+\sin 6=\frac{25}9$

$\sin 6=\frac {16}9 \gt 1$, une contradiction

De la même manière$f(3)= 6$donnera la contradiction

$\sin 3+\cos 3=2$(impliquant$\sin 3=\cos 3=1$ce qui est impossible).

Il nous reste donc$(1)$et$(2)$

Remarque : Une légère variante de l'exemple ci-dessus satisfait la condition dans$(1)$et$(2)$

J'ai essayé avec des exemples simples comme$g(x)=1 $et$f(x)=x$ou comme quadratiques mais n'a pas pu tirer de conclusions.

S'il vous plaît aider avec les options$(1)$et$(2)$. Merci pour votre temps.

Answer 1

Considérons la fonction énergétique$E=f(x)^2+f'(x)^2$. Alors$$ \frac{d}{dx}E=2f'(x)(f''(x)+f(x))=-2xg(x)f'(x)^2 $$pour que$E$tombe le long des solutions. Autant que je sache, cela implique que 1) et 2) sont vrais.

En 1)$f(x)\le\sqrt{E(x)}\le\sqrt{E(0)}=\sqrt2<3$et de même en 2)$f(x)\le\sqrt8<4$. De la même manière que vous entrez dans 3) et 4)$f(x)\le\sqrt{18}<5$, de sorte que les valeurs données ne peuvent jamais être atteintes.