Une identité pour le Lambert $W$ fonction

Question

Exprimant l'intégrale dans Une identité intégrale en termes de résidus, nous arrivons à l'identité supposée suivante:$$\sum_{k=-\infty}^\infty\frac1{1 + W_k(x)}=\frac12$$ pour tous $x\in(-1/e,0)$, où $W_k$ est le $k$ème branche du Lambert$W$fonction .

Comment cela peut-il être prouvé?

Answer 1

Cette identité est désormais établie, puisqu'une identité intégrale citée dans le post ci-dessus est désormais prouvée.