Une question dans la définition du produit de la famille dans la catégorie
J'étudie les catégories d'Algèbre de Thomas Hunger Ford et j'ai une question sur la définition des catégories:

Ma question est la suivante: ce que l'auteur entend par ce diagramme est commutatif.
Je n'ai aucune idée de ce que cela signifie bien que la définition $7.2$ donné ci-dessus est absolument compris.
Veuillez dire ce que l'auteur entend par là.
Réponses
Fondamentalement, ce qu'ils signifient, c'est que chaque triangle du diagramme représente un ensemble de compositions et d'égalités de morphisme. Par exemple,

Ce diagramme particulier implique que $\pi_1 \circ \varphi = \varphi_1$. Également:

Ce diagramme implique $\pi_2 \circ \varphi = \varphi_1$.
Chacun de ces triangles est considéré comme un diagramme commutatif, et nous disons aussi que le diagramme fait en les "écrasant" ensemble (comme on vous l'a montré à l'origine) est également commutatif.
Plus généralement: dans un diagramme commutatif, quels que soient les chemins que vous empruntez à partir des mêmes points de départ et d'arrivée, représentent une sorte d'égalité (en théorie des catégories, les égalités concernent la composition du morphisme). Le premier triangle emprunte deux chemins de$B$ à $A_1$ par exemple: un directement là via $\varphi_1$ et l'autre va à $P$ via $\varphi$et puis à$A_1$ via $\pi_1$. Ainsi, nous prétendons$\pi_1 \circ \varphi = \varphi_1$. La même chose se produit pour l'autre diagramme et pour les diagrammes commutatifs en général.
Cela donne une belle intuition visuelle sur la façon dont ces choses fonctionnent et comment les égalités peuvent être vues, utilisées et manipulées.
Vous pouvez trouver plus d'exemples, de diagrammes et d'explications sur l'article Wikipedia ici .
Un diagramme est commutatif ssi quand on regarde toutes les flèches qu'il génère - c'est-à-dire toutes les flèches qui peuvent être formées en composant des flèches dans le diagramme lui-même - on ne voit jamais qu'une seule flèche entre deux objets.
Par exemple, supposons que nous examinions la catégorie Ensembles . Considérez les objets$A=\{1\}, B=\{2\}, C=\{1,2\}$, et le diagramme "triangle" constitué des flèches $$f:A\rightarrow B: 1\mapsto 2,\quad g: B\rightarrow C: 2\mapsto 2,\quad\mbox{and}\quad h:A\rightarrow C: 1\mapsto 1.$$Ce diagramme n'est pas commutatif: outre les flèches explicitement présentes$f,g,h$ eux-mêmes, nous avons aussi la flèche "générée" $g\circ f$. Cela a le même domaine et codomaine que$h$, mais est différent de $h$.
Plus rapidement:
Les triangles commutatifs sont exactement des instances de composition de flèches: flèches données$f,g,h$ où $g\circ f$ est défini et a la même source et la même cible que $h$, le triangle formé par $f,g,h$ est commutative ssi $g\circ f=h$.
Il existe bien sûr des diagrammes commutatifs plus compliqués. Les carrés de navettage apparaissent fréquemment (voir par exemple "carrés de retrait"): en gros, ils correspondent à des situations où nous avons des flèches$f_1,f_2,f_3,f_4$ tel que $f_1$ et $f_2$ ont la même source, et $f_3$ et $f_4$ ont le même objectif, et les compositions $$f_3\circ f_1\quad\mbox{and}\quad f_4\circ f_2$$ sont (définis et) égaux.