Utilisation de l'inégalité de Schwarz pour prouver l'inégalité de Chung Erdős
J'essaye de comprendre une preuve de l'inégalité de Chung Erdős. Toutes les sources que je peux trouver (y compris les questions et réponses connexes sur MSE) indiquent quelque chose comme suit: si$A_1, \ldots, A_n$ sont des événements et si $X_i$ est la variable aléatoire donnée par la fonction caractéristique de $A_i$, $i = 1, \ldots, n$, alors l'inégalité suivante découle de l'inégalité de Schwarz:
$$[E(X_1+...+X_n)]^2 \leq P(X_1+...+X_{n}>0)E[(X_{1}+...+X_n)^2]$$
Je suis probablement particulièrement stupide à ce sujet, mais je ne vois simplement pas comment appliquer l'inégalité de Schwarz pour obtenir ce qui précède.
Réponses
Une forme d'inégalité de Cauchy-Schwarz est que $E[UV]^2\le E[U^2] E[V^2]$. (Il s'agit de l'inégalité CS habituelle appliquée à l'espace des variables aléatoires à valeurs réelles avec des moments secondaires, avec produit interne$\langle X,Y\rangle=E[XY]$.)
Appliquez ceci dans le cas $U=X_1+X_2+\cdots+X_n$ et $V=I_{U>0}$. Notez que$E[U]=E[UV]$, cette $V^2=V$ et cela $E[V^2] = E[V] = P(U>0)$, livrant votre inégalité $$E[X_1+\cdots+X_n]^2 = E[UV]^2\le E[V^2] E[U^2] = P(X_1+\cdots+X_n>0)E[(X_1+\cdots+X_n)^2].$$
Laisser $X = X_1 + \cdots + X_n$ et dénoté par $f$ sa fonction de densité de probabilité.
Écrire $X f = \sqrt{f} (X \sqrt{f})$. ensuite
$$\left(\int X f dX\right)^2 \leq \int f dX \int X^2 f dX$$
par Cauchy-Schwarz.