Utiliser des fonctions de génération pour résoudre la relation de récurrence non homogène

Question

Laisser $a_0=0, a_1=2,$ et $a_2=5$. Utilisez des fonctions de génération pour résoudre l'équation de récurrence:$$a_{n+3} = 5a_{n+2} - 7a_{n+1}+3a_n + 2^n$$ pour $n\geq0$.

C'est un problème de livre d'Applied Combinatorics. Je suis vraiment confus à propos de la lutte$2^n$ partie de la relation de récurrence utilisant des fonctions génératrices.

Éditer:

Je sais que je dois convertir la récurrence en série et je l'ai décomposée, mais j'ai du mal à la mettre sous une forme appropriée pour faire des fractions partielles. Ce sont les équations que j'ai réussi à obtenir.

Si nous laissons $A(x) = \sum_{n \geq 0} a_n x^n$ être la fonction génératrice de $a_n$ puis après les calculs, j'ai obtenu:

$$A(x)\cdot(1-5x+7x^2-3x^3)= 12x^3 - 9 x^2 + \frac{2x}{1-2x}$$

Après avoir simplifié: $$A(x) = \frac{12x^3 - 9 x^2 + \frac{2x}{1-2x}}{1-5x+7x^2-3x^3}$$ $$= \frac{24 x^4 - 30 x^3 + 9 x^2 - 2 x}{(1-2x)(x-1)^2(3x-1)}$$

Ensuite, la décomposition de fraction partielle est: $$A(x) = -\frac{8}{1-2x} + \frac{13}{4}\frac{1}{1-3x} + \frac{37}{4}\frac{1}{1-x} - \frac{1}{2} \frac{1}{(1-x)^2} - 4$$

J'ai essayé de brancher les valeurs, mais quelque chose ne semble pas correct. S'il vous plaît laissez-moi savoir où je me serais trompé.

Answer 1

Vous avez fait une erreur quelque part dans la dérivation de la fonction génératrice (difficile de dire où puisque vous n'avez pas inclus cette partie), j'ai

\begin{align} A(x)&=2x+5x^2+\sum_{n \geq 3}a_{n}x^n\\ &=2x+5x^2+5\sum_{n \geq 3}a_{n-1}x^n-7\sum_{n \geq 3}a_{n-2}x^n+3\sum_{n \geq 3}a_{n-3}x^n+\sum_{n \geq 3}2^{n-3}x^n\\ &=2x+5x^2+5x\sum_{n \geq 2}a_{n}x^n-7x^2\sum_{n \geq 1}a_{n}x^n+3x^3\sum_{n \geq 0}a_{n}x^n+x^3\sum_{n \geq 0}2^{n}x^n\\ &=2x+5x^2+5x(A(x)-2x)-7x^2(A(x)-0)+3x^3A(x)+x^3\cdot \frac{1}{1-2x} \end{align} qui résout à \begin{align} A(x)&=\frac{x(11x^2-9x+2)}{(1-2x)(1-3x)(x-1)^2}\\ &=\frac{2}{(x-1)^2}-\frac{3}{2}\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1-2x}+\frac{1}{2}\frac{1}{1-3x}. \end{align} Vérifiez votre solution, j'espère que vous pourrez la terminer à partir d'ici.