Valeur maximale de $\sin(A/2)+\sin(B/2)+\sin(C/2)$?
Je suis donc tombé sur une question dans mon manuel:
Dans le triangle ABC, si $A$,$B$,$C$ représentent les angles, puis trouvez la valeur maximale de $\sin(A/2)+\sin(B/2)+\sin(C/2)$?
J'ai donc déjà essayé de faire de mon mieux et de mettre mon sang, ma sueur et mes larmes dans cette question ... Mais je ne suis pas en mesure d'aller plus loin!
Alors, voici mon approche: en utilisant $\sin(C)+\sin(D)$ et $A+B+C= \pi$;
- $2\sin(\frac{A+B}{4})\cos(\frac{A-B}{4})+\cos(\frac{A+B}{2})$ Maintenant, en utilisant $\cos(2A)$ formule ie, $1-2\sin^2(A) $
- $2\sin(\frac{A+B}{4})\cos(\frac{A-B}{4})+1-2\sin^2(\frac{A+B}{4})$
- Alors je suis devenu quadratique en variable $\sin(\frac{A+B}{4})$
- $-2\sin^2(\frac{A+B}{4})+2\sin(\frac{A+B}{4})\cos(\frac{A-B}{4})+1$
Mais je ne sais pas quoi faire après ça
Puis-je résoudre cette question en utilisant cette méthode ou je dois utiliser une approche différente!
BTW, la réponse est 3/2
Edit: Je viens de terminer mon lycée et je me prépare à l'examen d'entrée IIT-JEE, alors n'utilisez pas de termes difficiles pour résoudre cette question.
Cette solution est envoyée par mon professeur, faites-moi au moins comprendre celle-ci [https://i.stack.imgur.com/51pCB.png]
Réponses
Là où tu t'es arrêté, laisse $$z=-2\sin^2x+1+2\sin x\cos y$$
$$\iff2\sin^2x-2\sin x\cos y+z-1=0$$
Comme $\sin x$ est réel, le discriminant doit être $\ge0$
$\implies8(z-1)\le(-2\cos y)^2\le2^2$
$\implies8z\le4+8$
L'égalité se produit si $\cos^2y=1\iff\sin y=0$
et par conséquent $\sin x=\mp\dfrac{\cos y}2=\mp\dfrac12$
Puisque $\sin x$est concave sur les aigus$x$, par l'inégalité de Jensen, le maximum se trouve à$A/2=B/2=C/2=\pi/6$, comme $3\sin\pi/6=3/2$.
Edit: puisque l'OP a mentionné dans un commentaire sur la réponse de @ B.Goddard qu'il connaît la différenciation, voici une autre preuve que le cas équilatéral atteint un maximum:
Continue à utiliser $\frac{C}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{A+B}{2}$. Extémiser$\sin\frac{A}{2}+\sin\frac{B}{2}+\cos\frac{A+B}{2}$ résoudre simultanément$$\tfrac12\cos\tfrac{A}{2}-\tfrac12\cos\tfrac{C}{2}=0,\,\tfrac12\cos\tfrac{B}{2}-\tfrac12\cos\tfrac{C}{2}=0$$à savoir. $A=B=C$. Je laisse le lecteur vérifier que c'est un maximum en considérant les dérivés secondaires.
Vous pouvez le faire avec les multiplicateurs de Lagrange. Maximiser$f=\sin x/2 + \sin y/2+\sin z/2$ sous la contrainte $g=x+y+z = \pi$.
ensuite
$$\nabla f = \langle \cos(x/2)/2, \cos(y/2)/2, \cos(z/2)/2 \rangle =\lambda\langle 1,1,1 \rangle = \nabla g.$$
Cela montre que $x=y=z$ et le triangle maximal est équilatéral.
Dans un triangle ABC, $A+B+C=\pi$ $$f(x)=\sin(x/2) \implies f''(x)=-\frac{1}{4}\sin(x/2)<0, x\in[0,2\pi].$$ Donc par l'inégalité de Jemsen $$\frac{f(A/2)+f(B/2)+f(C/2)}{3} \le f(\frac{A+B+C}{6}).$$ $$\implies \frac{\sin (A/2)+\sin(B/2)+\sin{C/2}}{3} \le \sin\frac{\pi}{6}.$$ $$\implies \sin(A/2)+\sin(B/2)+\sin(C/2) \le \frac{3}{2}$$