Vérification de la preuve sur le suprema des séquences

Question

Laisser $(a_n)_{n=m}^{\infty}$être une séquence de nombres réels. Laisser$x$ être un nombre réel tel que $x:=\sup(a_n)_{n=m}^{\infty}=\sup(\{a_n : n\geq m\}$. Alors pour tous$n\geq m$, nous avons ça $a_n\leq x$ et si $M\in \mathbb{R}$ tel que $M$ est une limite supérieure pour $a_n$, alors pour tous $n\geq m$, nous avons $M\geq a_n$. Aussi, pour tous$y\in \mathbb{R}$ tel que $y<x$, il existe un $n\geq m$ tel que $y<a_n\leq x$.

Voici ma tentative de preuve:

Par définition, $x$ est le suprême de l'ensemble $\{a_n : n\geq m\}$, ce qui signifie qu'il s'agit d'une limite supérieure pour l'ensemble. Donc pour chaque$n\geq m$, nous avons $a_n \leq x$. Aussi par définition, pour tout$M$ c'est une limite supérieure de l'ensemble, $x\leq M$, auquel $a_n \leq x\leq M$suit. Enfin, selon la définition de supremum, nous avons cela pour chaque$\varepsilon >0$, il existe un $a_n\in \{a_n : n\geq m\}$ tel que $a_n>x-\varepsilon$. Alors réglé$y=x-\varepsilon <x$ obtenir $a_n>y=x-\varepsilon$ puis $x\geq a_n >y$ suit.

Je suis une véritable analyse auto-étudiante, donc je veux juste m'assurer que je fais toutes les étapes correctes et si je construis cette preuve correctement.

Answer 1

Votre idée est bonne mais l'écriture doit être améliorée. On vous donne$y<x$ donc 'ensemble $y=x-\epsilon<x$'n'a pas de sens. Au lieu de cela, vous devriez dire laissez$\epsilon =x-y$. ensuite$\epsilon >0$ donc il existe $n$ tel que $a_n >x-\epsilon$. Avec ce changement, tous vos arguments sont OK.