Vérification des preuves et compréhension nécessaires

Nov 28 2020

Utilisez le résultat de l'exercice 1 pour prouver si A est infini et B fini et B est un sous-ensemble fini de A alors A \ B est infini

Exercice 1 Soit A, B des ensembles finis disjoints. et A≈m. et B≈n, alors. A ∪ B ≈ m + n. Concluez que l'union de deux ensembles finis est finie.

Remarque : le problème vient d'un livre de théorie des ensembles de Pinter

Tentative de preuve (mise en garde du lecteur: que le lecteur se méfie ... Ma connaissance de l'ensemble infini est fragile je peux utiliser l'induction et la cartographie)

J'ai prouvé l'exercice 1. (Réécriture complète)

Écrivez A = (A \ B)$\cup$ B (1)

En utilisant $A \cup B $ à partir de l'exercice 1, nous obtenons A \ B = ($A\cup B)\cap B^{c}$ (2)

Supposons maintenant que A ait un sous-ensemble dénombrable B et que A soit fini; c'est-à-dire A ≈ n, B ⊆ A et B ≈ ω. Donc B$\subset$(UN B)$\cup$ B.

A \ B ne peut pas être fini puisque A est infini Si a$\in$A \ B puis a$\in B^{c}$ puis $B^c$ est infini ce qui est contradiction puisque B est fini

Donc A / B est infini

Aidez-moi

Réponses

PaulSinclair Nov 29 2020 at 19:32

Quelques choses:

  • $A\setminus B = \{x \in A: x \notin B\}$. Donc$$A\setminus B = A\cap B^\complement$$ Il n'y a aucune raison de s'unir dans tous les éléments de $B$ avant de les supprimer en les croisant avec $B^\complement$.
  • Vous en déduisez

$A\setminus B= ((A\setminus B)\cup B)\cup B)\cap B^\complement$

Alors $A\setminus B$ et $B$ sont disjoints.

Tout argument par lequel vous pourriez obtenir "$A\setminus B$ et $B$ sont disjoints "de $A\setminus B= ((A\setminus B)\cup B)\cup B)\cap B^\complement$ fonctionnerait beaucoup plus facilement à partir de votre déclaration (2): $A\setminus B= (A\cup B)\cap B^\complement$. Ou plus facilement encore de (ce que je suppose est la définition que Pinter donne pour$A\setminus B$): $A\setminus B = A\cap B^\complement$. Vous vous dirigiez clairement dans la mauvaise direction et avez de toute évidence décidé de simuler, en espérant que votre lecteur serait également perdu et supposerait que vous aviez réellement démontré quelque chose.

Cette $A\setminus B$ et $B$sont disjoints est quelque chose de si évident qu'il est douteux que cela doive être démontré. D'après la définition du constructeur de décors que j'ai donnée, il est prouvable en notant$x \in A\setminus B \implies x \notin B$, donc il n'y a pas $x$ qui est dans les deux $A\setminus B$ et $B$. Si vous insistez sur une preuve «algébrique des ensembles», alors$$(A\setminus B) \cap B = (A \cap B^\complement)\cap B = A\cap(B^\complement\cap B) = A\cap\varnothing = \varnothing$$

  • Vous ne suivez pas vos propres hypothèses:

Supposons maintenant que $A$ a un sous-ensemble dénombrable $B$ et $A$est fini ; C'est,$A \approx n, B \subseteq A$, et $B \approx \omega$. Alors$B\subset (A\setminus B)\cup B$.

$A\setminus B$ne peut pas être fini puisque A est infini ...

De plus, vous n'utilisez aucun des éléments ci-dessus dans le reste de votre argumentation, alors pourquoi les avez-vous mentionnés? La seule chose que vous avez utilisée est que$A$ est infini, ce qui est une hypothèse du théorème.

Si $a\in A\setminus B$ puis $a\in B^\complement$ puis $B^\complement$ est infini ce qui est contradiction puisque $B$ est fini.

Je suppose que vous montrez que $A\setminus B \subseteq B^\complement$, ce qui impliquerait en effet $B^\complement$est infinie (en supposant qu'il a déjà été prouvé qu'une classe avec une sous-classe infinie est elle-même infinie). Mais$B^\complement$ être infini ne contredit en aucun cas $B$étant fini. En fait, le complément de tout ensemble fini est infini. Les compléments d'ensembles ne sont pas des ensembles selon la théorie des ensembles de Pinter. Ce sont des classes appropriées et les classes appropriées sont toujours infinies.


Si vous voulez utiliser l'exercice 1 pour le prouver, la preuve par contradiction est nécessaire. Mais ce que vous essayez de prouver, c'est "$A\setminus B$ est infini ", donc l'hypothèse que vous devez faire est le contraire:"$A\setminus B$ est fini ". Lorsque vous arrivez à une contradiction, cela signifie que l'hypothèse qui vous y a conduit est fausse, et si"$A\setminus B$ est fini "est faux, alors son contraire"$A\setminus B$ est infini "sera vrai.

Vous avez donc les hypothèses du théorème:

  • $A$ est infini.
  • $B$ est fini.

Et l'hypothèse que vous essayez de réfuter:

  • $A\setminus B$ est fini.

Vous avez également le théorème déjà prouvé:

  • Si $C$ et $D$ sont tous deux finis, il en est de même $C\cup D$.

Pouvez-vous voir comment les combiner pour arriver à une contradiction?