Y a-t-il plus d'un solide pseudo-catalan?
Cette question a été posée sur MSE il y a un an. La motivation pour cette question peut être trouvée dans d'autres questions MSE ici , ici ou ici .
Les solides convexes peuvent avoir toutes sortes de symétries:
les solides platoniques sont des sommets et des faces transitifs, ce qui signifie qu'il existe un sous-groupe des rotations de l'espace à trois dimensions qui peut amener n'importe quel sommet sur un autre (et de même pour les faces). La liste est limitée aux 5 solides platoniques.
Les solides transitifs (ou isoédriques) de face comprennent les solides catalans, la (famille infinie) des dipyramides et la (famille infinie) des trapèzes. Notez que sans restrictions supplémentaires, ces solides peuvent se présenter dans des familles infinies: le dodécaèdre rhombique a un nombre infini de cousins deltoïdaux (voir le dodécaèdre deltoïdal ); il s'inscrit également dans une famille de dodécaèdres à un paramètre appelée pyritoèdres ; le dodécaèdre et le tétraèdre triakis s'inscrivent dans la famille à un paramètre appelée tétartoïde ; les dipyramides et les trapèzes admettent également toutes sortes de déformations à côté du nombre de faces.
on peut demander une symétrie beaucoup plus faible. Appelons cela pseudo-catalan (faute d'un meilleur nom). Corriger un "centre"$C$. Le solide convexe est pseudo-catalan, si chaque face peut être envoyée sur une autre face par une rotation de centre$C$ ou une réflexion (dont le plan traverse $C$). Notez qu'il n'est pas nécessaire que cette rotation (+ réflexion) préserve l'ensemble du solide. Un exemple d'un tel solide qui n'est pas un solide catalan est l' icositétraèdre deltoïde gyrate .
Question: existe-t-il une liste de solides pseudo-catalans mais pas catalans? [Plus désespérément: y a-t-il un tel solide à côté de l'icositétraèdre deltoïde giratoire?]
- notez qu'il y aurait une dernière catégorie, où le solide est convexe et toutes les faces sont congruentes (un solide monohédrique convexe). La différence avec la catégorie précédente est que les traductions sont désormais autorisées. En particulier, pour vérifier qu'un solide appartient à la catégorie précédente, le choix de$C$(et le fait que toutes les rotations et réflexions soient contraintes par ce point) est important. Des exemples de tels solides sont le prisme triangulaire triaugmenté et la dipyramide carrée gyro - allongée .
Réponses
Ceci est juste une version détaillée des commentaires.
Comme l'a souligné M. Winter , il existe une famille de polyèdres avec$4k$-des faces qui correspondent à la facture ($k=5$est l'icosaèdre). Voici une image du cas$k=4$ et $k=6$.
Commencez par un antiprisme sur un $k$-gon (dis le plus bas $k$-gon a des sommets avec des coordonnées $(e^{i \pi (2j+1)k},0)$ et les sommets supérieurs $(e^{i \pi 2j k},h)$ où $0 \leq j <k$ et $h$est un nombre réel; J'utilise des nombres complexes pour le$x$ et $y$coordonnées). Collez une pyramide sur chacun$k$-gon (la pointe des pyramides est à $(0,0,s)$ et $(0,0,h -s)$. Le centre$C$ est à $(0,0,\tfrac{h}{2})$.
Pour que les triangles soient congruents, on peut écrire $h$ en tant que fonction de $s$ (ses $h = \tfrac{ 2\cos(\pi/k)-1+s^2}{2s}$). Si$k>3$, exigeant que chaque face soit à la même distance de $C$ (c'est à dire $C$ sera le centre d'une insphere) fixera une valeur de $s$ (ses $=\sqrt{2\cos(\pi/k)+1}$). Le point des faces qui minimise la distance à$C$ sont [plutôt, semblent être] le circoncentrique des triangles (coché uniquement pour $k=4,6$ et $7$ [J'étais trop paresseux pour faire l'algèbre générale $k$]).
De là, il s'ensuit que ces solides sont pseudo-catalans (ils ne peuvent pas être catalans [si $k \neq 5$] puisque les sommets à la pointe des pyramides ont un degré $k$ tandis que les autres sommets ont le degré 5. Il n'y a donc pas de symétrie globale qui envoie une face des pyramides à l'antiprisme.
J'aurais tendance à croire que ces solides appartiennent à une plus grande famille avec des triangles scalènes. Une construction similaire basée sur des trapèzes (au lieu de dipyramides) serait amusante (mais je ne sais pas comment faire cela pour le moment).
EDIT: le cas $k=3$est singulier: si vous forcez les plans des faces à toucher l'insphere, vous obtenez un trapézoèdre (dont les faces sont en losange; c'est à dire que les triangles de la pyramide s'alignent parfaitement avec ceux de l'antiprisme). Si vous utilisez en outre le paramètre restant pour que le point le plus proche de$C$ est le même sur chaque face [triangulaire], cela donne en fait le cube (!).
Voici un autre exemple (et espérons-le plus simple) (bien que ce ne soit certainement pas une liste complète des solides possibles). Prenez un$k$-dipyramide (les sommets équatoriaux ont $xy$-coordonné qui sont $k^\text{th}$-racines d'unité et $z=0$). Que les pointes des pyramides soient à$(0,0,\pm 1)$. Quand$k$ est même (donc $k \geq 4$), on peut couper cette pyramide le long du plan qui passe par les pointes et les racines de l'unité $\pm 1$. Cela coupe la dipyramide le long d'un carré. Faites maintenant pivoter l'une des deux pièces de 90 ° et collez-les ensemble. Les solides résultants (qui devraient, je suppose, être appelés dipyramides gyrates) satisfont aux conditions requises.
Pour voir que ce ne sont pas des solides catalans (sauf si $k=4$, qui consiste simplement à prendre l'octaeder, à le couper et à le remonter) il suffit d'observer qu'il existe deux types de faces: celles qui touchent le carré où le collage a eu lieu et les autres.
Voici quelques photos pour $k=6$ et $k=8$.
