Abbassa un politopo nell'acqua $-$ i vertici a livello dell'acqua sono collegati a quelli in basso?
Supponiamo di prendere un polipo convesso$P$ e una faccia $A$ con vertici $a_1,\ldots, a_n$. Teniamo il politopo con$A$ a filo con la superficie e abbassarla lentamente, mantenendola $A$parallelamente alla superficie. Continuiamo ad abbassare fino a quando il livello dell'acqua non raggiunge un vertice$b_1$ non appartenente a $A$. Allora lascia$b_1,\ldots, b_m$essere tutti i vertici a livello dell'acqua. Mi chiedo:
È ogni $b_i$ uniti da un vantaggio ad alcuni $a_i$?
Sembra fisicamente ovvio. Ma lo stesso vale per molti fatti sui politopi, come le definizioni di disuguaglianze lineari / scafo convesso che sono equivalenti.
Se si considera la parte del politopo tra il livello dell'acqua e il piano attraversato da $A$ ottieni un politopo più piccolo $Q$. Questo$Q$ ha tutto $a_i,b_j$ come vertici ma potrebbero avere vertici extra creati quando i bordi di $A$passare attraverso l'acqua. Tuttavia tutti i vertici sono contenuti in uno dei due piani. Ciò suggerisce la seguente domanda forse più facile.
Supponiamo $P_1,P_2$ sono due piani paralleli, e $P$ è un politopo in cui ogni vertice è in uno dei due $P_1$ o $P_2$. Ogni vertice è in$P_1$ unito da uno spigolo a un vertice di $P_2$?
Risposte
La risposta alla tua seconda domanda è Sì (e lo è anche la risposta alla prima).
In generale, per ogni vertice di un politopo (a dimensione intera) $P\subset\Bbb R^d$, le direzioni dei bordi incidenti a quel vertice si estendono sull'intero $\Bbb R^d$.
Se un vertice in $P_1$ avrebbe bordi solo per altri vertici in $P_1$, allora la luce sarebbe di dimensione $\le \dim(P_1)= d-1$, quindi, non tutti $\Bbb R^d$.