Aiuta con una prova di una conseguenza dagli assiomi di addizione e moltiplicazione
Durante la lettura dell'analisi 1 di Vladimir A. Zorich, ho riscontrato questa prova che ha questo primo passaggio che non riesco a capire. Ecco la conseguenza e la prova:
Per ogni $x\in \mathbb R$ quanto segue è vero
$$-x=(-1)\cdot x$$
Prova. $\ \ x+(-1)\cdot x=\underbrace{(1+(-1))\cdot x}_\text{Which of the axioms were used here ?}= 0 \cdot x=x \cdot 0 = 0$. L'assunto deriva dall'unicità del negativo di un numero.
Fine della prova.
La parte rinforzata è ciò che non riesco a capire. Quali assiomi di addizione e moltiplicazione sono stati usati per fare quell'espressione?
Risposte
Nota che $1\in\Bbb{R}$ è un elemento speciale del set con la proprietà che per ogni $x\in \Bbb{R}$, $1\cdot x = x\cdot 1 = x$. Successivamente, usiamo anche la legge distributiva che per tutti$a,b,c\in\Bbb{R}$, $a\cdot(b+c) = a\cdot b + a \cdot c$. Quindi, \ begin {align} x + (-1) \ cdot x & = 1 \ cdot x + (-1) \ cdot x \ tag {proprietà di$1$} \\ & = [1 + (-1)] \ cdot x \ tag {legge distributiva} \ end {align} Il resto della dimostrazione segue una volta stabilito che per ogni$x\in\Bbb{R}$, $0\cdot x = 0$.
il principale è la distribuzione: $a(b+c) = ab + ac$.
Quindi la prova è questa:
$x + (-1)x = 1\cdot x + (-1)\cdot x$ (per esistenza e definizione di identità moltiplicativa)
$=(1+(-1))\cdot x$ (per distribuzione)
$=0\cdot x$ (per definizione di additivo inverso)
$=x\cdot 0$ (commutività della moltiplicazione ma non ho idea del perché lo abbia fatto)
$= 0$(Questo non è un assioma ma una proposizione può essere dimostrata$0\cdot x = 0$. Lo hai già dimostrato? Spivak lo usa come un assioma?)
Quindi per definizione abbiamo quello per ogni $x$ esiste un unico $-(x)$ così che $x + (-x) = 0$.
Se mai avremo un file $a$ così che $x + a = 0$ dev'essere quello $a=-x$poiché l'inverso moltiplicativo è unico. Come$x + (-1)x =0$ deve essere $(-1)x = -x$.
======
Puntello: $x\cdot 0 = 0$.
Pf: $x\cdot 0 + (-(x\cdot 0)) = 0$. (Ogni elemento$a$, Compreso $x\cdot 0$, ha un additivo inverso, $-a$, così che $a + (-a) =0$.)
$x\cdot(0 + 0) + (-(x\cdot 0)) = 0$ ($0=0+0$ perché $0$ è l'identità additiva e $a +0 = a$ per tutti $a$, compreso quando $a$ è $0$.)
$(x\cdot 0 + x\cdot 0) + (-(x\cdot 0)) = 0$ (distributività)
$x\cdot 0 + (x\cdot 0 + (-(x\cdot 0)) = 0$ (associatività)
$x\cdot 0 + 0 = 0$ (definizione di identità additiva)
$x\cdot 0 = 0 $ ($a + 0= a$ per tutti $a$ per definizione di identità additiva.)