Calcolo del modulo Specht $S^{(n-1,1)}$

Question

Permettere $\lambda = (n-1,1)$ essere la partizione di $n$. Sto cercando di calcolare il modulo Specht$S^{(n-1,1)}$ che è un certo sottomodulo del modulo gratuito $M^{(n-1,1)} = \mathbb{C}\left\{\underset{\scriptstyle\textstyle\underline{i}\phantom{aaaaaaaaa}}{\underline{\overline{1\ 2 \cdots \hat{i} \cdots n}}} : i=1,2\cdots,n\right\}$ dove $\mathbf{i} :=\underset{\scriptstyle\textstyle\underline{i}\phantom{aaaaaaaaa}}{\underline{\overline{1\ 2 \cdots \hat{i} \cdots n}}}$ è un tabloid (una classe di equivalenza della riga equivalente Young Tableaux) e $\hat{i}$ denota omissione.

Secondo la definizione di $S^{(n-1,1)}$, è il sottomodulo attraversato dai polytabloids $e_t = \sum_{\pi \in C_t}\text{sgn}(\pi) \{t\}$ dove $t$ è qualsiasi Young Tableau e $\{t\}$ è il tabloid che contiene $t$, e $C_t$ è il sottogruppo di $S_n$ che fissa le colonne di $t$ (risorse).

Quindi lascia $1\leq i \leq n$ e consente di calcolare $e_t$ per $t\in \mathbf{i} = \underset{\scriptstyle\textstyle\underline{i}\phantom{aaaaaaaaa}}{\underline{\overline{1\ 2 \cdots \hat{i} \cdots n}}}$. Supponiamo che la prima voce nella prima riga di$t$ è $j\neq i$, Poi abbiamo $C_t = \{1,(i,j)\}$ così che \begin{align*}e_t & = \left(\sum_{\pi \in C_t}\text{sgn}(\pi)\pi \right) \underset{\scriptstyle\textstyle\underline{i}\phantom{aaaaaaaaa}}{\underline{\overline{1\ 2 \cdots \hat{i} \cdots n}}}\\ & = (1 - (i,j))\underset{\scriptstyle\textstyle\underline{i}\phantom{aaaaaaaaa}}{\underline{\overline{1\ 2 \cdots \hat{i} \cdots n}}}\\ & = \underset{\scriptstyle\textstyle\underline{i}\phantom{aaaaaaaaa}}{\underline{\overline{1\ 2 \cdots \hat{i} \cdots n}}} - \underset{\scriptstyle\textstyle\underline{j}\phantom{aaaaaaaaa}}{\underline{\overline{1\ 2 \cdots \hat{j} \cdots n}}}\\ & = \mathbf{i} - \mathbf{j}. \end{align*}

Così $S^{(n-1,1)}$è l'estensione di tutti questi vettori. Secondo il libro che sto leggendo, lo capiamo

$$S^{(n-1,1)} = \left\{\sum_{i=1}^n c_i \mathbf{i} : \sum_{i=1}^n c_i = 0\right\}.$$

La mia domanda: come hanno calcolato quest'ultimo passaggio?

Answer 1

Invece di $\mathbf{i}$ Io userò $v_i$. Questo equivale solo a dimostrarlo$$\operatorname{Span}_{\mathbb C}(v_i-v_j:1\leq i<j\leq n)=\left\{\sum_{i=1}^n c_iv_i:\sum_{i=1}^n c_i=0\right\}.$$

L'inclusione in avanti è chiara da allora $v_i-v_j$ ha coefficienti di $v_k$E 'che somma a zero per ciascuno $1\leq i<j\leq n$. Ora prova a scrivere un elemento arbitrario$\sum_{i=1}^n c_iv_i$ con $\sum_{i=1}^n c_i=0$ come somma di $v_i-v_j$termini. Ad esempio, puoi usare$c_n=-c_1-\cdots-c_{n-1}$ così che $$\sum_{i=1}^n c_iv_i=c_1(v_1-v_n)+\cdots+c_{n-1}(v_{n-1}-v_n).$$