Calcolo della probabilità del processo di Poisson

Question

Ho il processo di Poisson $\{N(t)\}_{t\geq 0}$ con tasso $\lambda=2$. Dato che durante l'intervallo di tempo si verificano quattro eventi$[0,2]$, qual è la probabilità che il primo evento si verifichi prima del tempo $t=1$?

Da quello che ho capito, ho bisogno di calcolare $\mathbb{P}(N(1)\geq1\mid N(2)-N(0)=4).$

Quindi presumo di dover usare la formula di probabilità condizionale \ begin {equation} \ frac {\ mathbb {P} (N (1) \ geq 1, N (2) -N (0) = 4)} {\ mathbb {P } (N (2) -N (0) = 4)} \ end {equation}

Fatico ora a vedere l'intersezione tra le due parti del mio numeratore. Inoltre, non sono troppo fiducioso che i miei meccanismi per il denominatore siano corretti. \ begin {equation} \ mathbb {P} (N (2) -N (0) = 4) = e ^ {- 2} \ frac {(2) ^ 4} {4!} = e ^ {- 2} \ frac {2} {3} \ end {equation} Qualcuno potrebbe spiegarmi come identificare l'intersezione al numeratore e se il mio calcolo per il denominatore è corretto?

Answer 1

Nella definizione del processo di Poisson si presume che $N(0)=0$. [Rif. https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_point_process]

$N(2)-N(0)=N(2)$ è Poisson con parametro $4$. Quindi il denominatore è$e^{-4}\frac {4^{4}} {4!}$.

Suggerimento per il numeratore: Let $X=N(1)$ e $Y=N(2)-N(1)$. Poi$X$ e $Y$ sono indipendenti con $Poiss(2)$distribuzione. . Quindi$P(X \geq 1, X+Y=4)= \sum\limits_{n=1}^{4} P(X=n) P(Y=4-n)=\sum\limits_{n=1}^{4}e^{-2} \frac {2^{n}} {n!} e^{-2}\frac {2^{4-n}} {(4-n)!}$. .