Capire la reciprocità di Frobenius

Question

Sono bloccato cercando di capire la prova della seguente proposizione:

Permettere $\pi$ essere una rappresentazione irriducibile di $G=GL_2$. Quindi i seguenti sono equivalenti:

• $\pi$ è equivalente a un sottospazio di $Ind_B^G \chi$ per un personaggio $\chi$ di $T$ ;
• $\pi$ contiene il carattere banale di $N$.

Qui usiamo le solite notazioni: $B$ lo standard Borel delle matrici triangolari superiori, $N$ le matrici triangolari superiori unipotenti e $T$ il toro delle matrici diagonali.

Si dice che questa sia una semplice conseguenza della reciprocità di Frobenius, ma non capisco dove entra in gioco.

Answer 1

Suppongo che tu stia parlando di gruppi finiti e delle loro complesse rappresentazioni.

Per reciprocità di Frobenius, lo sappiamo $Hom_N (1, \pi) \cong Hom_G (Ind^G _N 1, \pi)$ . Sappiamo anche che $Ind^G _N 1 \cong \sum_\chi Ind^G _B \chi$questo prova l'affermazione.

Answer 2

Quello che stai descrivendo è l'induzione e la restrizione di Harish-Chandra. Se$\psi$ è un personaggio di $T$, Scrivi $R_T^G(\psi)$ per $\psi$ gonfiato a $B$e quindi indotto a $G$. D'altra parte, se$\chi$ è un personaggio di $G$, Scrivi ${}^*R_T^G(\chi)$ per il carattere ottenuto per primo limitando a $B$, e quindi prendendo il sottospazio di questo spazio che è fissato dal sottogruppo unipotente $U$. Questo diventa naturalmente un personaggio per$T$.

Frobenius recpirocity, applicato a qualsiasi carattere di $G$ e qualsiasi carattere di $T$, produce $\langle R_T^G(\psi),\chi\rangle=\langle \psi,{}^*R_T^G(\chi)\rangle$. Per vedere questo avviso che stiamo ignorando nella restrizione HC tutti i caratteri che non sono gonfiati dal toro. Così$$\langle \psi,{}^*R_T^G(\chi)\rangle=\langle \psi,\chi{\downarrow_B}\rangle=\langle \psi,\chi{\downarrow_T}\rangle,$$ dove $\downarrow$ è la restrizione standard.

D'altra parte, l'induzione HC è semplicemente un'induzione standard di un Borel, ma solo per alcuni personaggi. In questo caso$\langle R_T^G(\psi),\chi\rangle=\langle \psi\uparrow^G,\chi\rangle$. Così la reciprocità di Frobenius completa la dimostrazione.

Se $\pi$ contiene il carattere banale di $N$, poi $\pi$ ha (l'inflazione di) un carattere di $T$ nella sua restrizione a $B$. Quindi la sua restrizione Harish-Chandra è diversa da zero. Permettere$\chi$essere uno dei componenti di esso. Quindi l'induzione di HC$\chi$ deve includere $\pi$ dalla dichiarazione di cui sopra.