Com'è $S(\rho)=H(p_{i})+\sum_{i}p_{i}S(\rho_{i})\le \log(d)$ possibile se $\rho_{i}$ non sono stati puri?

Question

So come questo può essere dimostrato usando l'entropia relativa quantistica. Tuttavia, anche con questa prova, e sono ancora confuso su come questo emerge.

Supponiamo che io abbia una sorgente che produce due stati $\rho_1$ e $\rho_{2}$ con probabilità la metà ciascuno, ed entrambi sono stati misti, cioè $S(\rho_i)>0$per ognuno di loro. Le dimensioni dello spazio di Hilbert sono$2$.

Come posso $S(\rho)=H(p_{i})+\sum_{i}p_{i}S(\rho_{i})\le \log(d)$, dato che $H(p_{i})=1$ e $S(\rho_i)>0$, dato che $\log(d)=\log(2)=1?$

Presumo che mi manchi qualcosa di ovvio nella costruzione effettiva di $\rho$, in quel qualcosa sta delimitando $H(p_{i})$ lontano da 1. Presumo che questo abbia qualcosa a che fare con i supporti ortogonali, come $S(\rho) \le H(p)+\sum_{i}p_iS(\rho_{i})$ se non sono ortogonali.

Answer 1

Immagino volessi considerare stati generici (non necessariamente puri) $\rho_1,\rho_2$ anziché $|\psi\rangle\langle\psi|$ e $\lvert\phi\rangle\langle \phi\rvert$, quindi prenderò in considerazione la domanda leggermente modificata " com'è$$S(\rho)= H(p)+\sum_i p_i S(\rho_i)\le \log d$$ possibile per uno stato $\rho=\sum_i p_i\rho_i$ con $H(p)=\log d$? "

La prima cosa da notare è che, in generale, $S(\rho)\le H(p)+\sum_i p_i S(\rho_i)$. Questa non è un'identità a meno che$\rho_i$avere un supporto ortogonale. Allora hai anche$S(\rho)\le\log d$. Da questi, non puoi implicare$H(p)+\sum_i p_i S(\rho_i)\le \log d$, il che è davvero falso in generale, come hai osservato.

quando $\rho_i$ non hanno il supporto ortogonale, quindi$S(\rho)= H(p)+\sum_i p_i S(\rho_i)$, e quindi devi anche avere $H(p)+\sum_i p_i S(\rho_i)\le \log d$. Allora perché non abbiamo una contraddizione? Bene, considera il caso con$H(p)=\log d$. Ciò significa che hai a che fare con uno stato$\rho$ che è una miscela equilibrata di $d$stati diversi con supporto ortogonale . L'unico modo per ottenere$d$ stati con supporto ortogonale in a $d$-spazio dimensionale è che ciascuno di essi ha un rango unitario, cioè sono tutti puri, e quindi$S(\rho_i)=0$ per tutti $i$.