Come calcolare le lunghezze d'arco di un grande cerchio inclinato con l'equatore a $\phi°$ rotto in $12$ archi per longitudini $30°$ a parte?

Question

Si trova un grande cerchio $\phi°$inclinazione all'equatore. Longitudini$30°$ a parte sono disegnati che divide l'equatore in $12$ archi di uguale dimensione (raggio della terra$*30$). Gli archi corrispondenti sul cerchio grande inclinato avranno lunghezze variabili. Come calcolare i loro angoli sottesi per tutti$12$ archi?

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Quello che sono riuscito a capire:

1. Ecco il diagramma: Descrizione del problema

2. $\phi =$ latitudini del punto più basso e più alto del cerchio grande (ignorando i segni es $+/-$).

3. Lunghezza dell'arco per entrambi i cerchi per $90°$ l'angolo sotteso è uguale a un quarto di circonferenza.

4. Ho provato a risolvere con la regola di Haversine e la regola del seno per la trigonometria sferica , ma quando programmata, la somma$12$ archi non è uguale alla circonferenza della terra.

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Motivazione:

Gli angoli sottesi degli archi varieranno con la latitudine e la longitudine. Questo calcolo è fondamentale per un software di astrologia che sto cercando di costruire. Grazie in anticipo per qualsiasi aiuto!

Answer 1

Potrebbe essere meglio calcolare le lunghezze d'arco cumulative.

Permettere $A$ essere un punto in cui l'arco colpisce l'equatore e $B$ essere qualsiasi punto da cui ti muovi $A$. Perché$A$ può essere uno dei due punti, possiamo assumere senza perdita di generalità di $B$ è sostituito da $\le 180°$ longitudine da$A$. Chiamiamo così spostamento di longitudine$\theta$.

Disegnare $\triangle ABP$ dove $P$è uno dei due poli. Poi$\angle P$ le misure $\theta$, arco $AP$ misura 90 ° e $\angle A$ le misure $90°-\phi$.

Nel risolvere i triangoli generalmente preferisco lavorare con i coseni invece che con i seni. La funzione coseno è monotona e fornisce un inverso inequivocabile fino in fondo$0°$ per $180°$, mentre la funzione seno si raddoppia su se stessa al passaggio dell'argomento $90°$. Quindi guarda alle leggi del coseno. Quando hai due angoli e il lato incluso come qui, la Seconda Legge dei Coseni funziona meglio. Per questo triangolo la legge fornisce quanto segue per il terzo angolo$\angle B$:

$\cos \angle B = -\cos \angle A\cos \angle P+\sin \angle A\sin \angle P\cos AP$

Qui, il secondo termine a destra azzera come $AP$ le misure $90°$. Collegando gli angoli noti sopra, viene eseguito il rendering

$\cos \angle B = -\sin \phi\cos \theta$

Quindi applichiamo la stessa legge ancora una volta, questa volta con $\angle P$ sul lato sinistro:

$\cos \angle P = -\cos \angle A\cos \angle B+\sin \angle A\sin \angle B\cos AB$

Inserendo valori noti e utilizzando il fatto che $\sin u =+\sqrt{1-\cos^2 u}$ per $0\le u\le 180°$, noi abbiamo

$\cos \theta = \sin^2 \phi\cos\theta+(\cos \phi)(\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta})(\cos AB)$

$\cos^2 \phi\cos\theta=(\cos \phi)(\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta})(\cos AB)$

e questa formula per la lunghezza dell'arco $AB$:

$\color{blue}{\cos AB = \dfrac{\cos \phi\cos \theta}{\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta}}} (0°\le\theta\le 180°)$