come det (A) = 0 implica che la soluzione non è unica? [duplicare]

Question

Soluzione dell'equazione di matrice Ax = b, dove $$ A=\left(\begin{matrix} a_1&a_2&\dots&a_n \end{matrix}\right), \ a_i \in \mathbb{R}^n,$$

non è unico, se vettori $$ a_1, \ a_2, \dots, \ a_n $$sono linearmente dipendenti. Quindi per proprietà di determinante,$$ \det A=0. $$Tuttavia, ne consegue sempre che, se det A = 0, i vettori colonna di A sono linearmente dipendenti? Qualcuno può presentare una prova?

Answer 1

Una possibile prova:

• Supponiamo che le colonne siano linearmente indipendenti.
• Converti la matrice in una forma a scaglioni di colonne, partendo dall'ultima colonna e procedendo all'indietro.
• Sai che il numero di colonne linearmente indipendenti è il numero di colonne diverse da zero con cui finisci. Tuttavia, poiché hai assunto che le colonne siano indipendenti, non ci sono zero colonne.
• In altre parole, sei finito con una matrice triangolare con tutti gli elementi diversi da zero sulla diagonale. Il suo determinante è diverso da zero.
• Tuttavia, le trasformazioni elementari che usiamo quando convertiamo la matrice in una forma di scaglione riga / colonna non cambiano la proprietà della diagonale in modo che sia zero o diverso da zero.
• Pertanto, il determinante all'inizio era diverso da zero.

Answer 2

Se la prima colonna è tutto $0$è chiaro. Altrimenti, considera una riga con il primo elemento$\ne 0$. Permutalo in modo che diventi la prima riga. Il determinante è ancora$0$, il sistema è equivalente al precedente. Ora riduci tutti gli elementi nella prima colonna, più in basso della prima riga. Ancora determinante$0$, sistema ancora equivalente. Ora guarda la matrice formata rimuovendo la prima riga e colonna. Determinante è$0$. Applica l'induzione, trova una soluzione diversa da zero$(x_2, \ldots, x_n)$. Ora usa la prima equazione originale per ottenere$x_1$. Ora abbiamo una soluzione diversa da zero per l'intero sistema.