Come dimostrare che la somma di 2 distribuzioni gaussiane è anche una distribuzione gaussiana usando la funzione caratteristica [duplicato]

Question

Siano X e Y due $ \mathcal{N}(0, 1) $distribuzioni. Devo dimostrarlo per$(a,b)\in \mathbb{R}^2 $, $ aX + bY $ è uguale a $\mathcal{N}(0, a^2 + b^2)$.

Sto cercando di farlo usando la funzione caratteristica di una distribuzione gaussiana. $$ \phi_{aX + bY}(t) = \int_{\mathbb{R}}{ \mathbb{e}^{it(ax+by)}{\frac{1}{2} \mathbb{e}^{-\frac{x^2}{2}}} dx} $$

Non so davvero cosa fare poiché modificando la variabile non posso sostituire sia x che y. Qualche suggerimento?

Answer 1

Permettere $Z=aX+bY$. La funzione caratteristica di$Z$ è:

$\phi_Z(t)=E\{e^{itZ}\}=E\{e^{it(aX+bY)}\}=E\{e^{i(at)X}e^{i(bt)Y)}\}$

EDIT (errore sciatto ...) Se X e Y sono indipendenti:

$\phi_Z(t)=E\{e^{i(at)X}\}E\{e^{i(bt)Y)}\}=\phi (at) \phi (bt)$,

dove $\phi(w)=e^{-\frac{w^2}{2}}$è la funzione caratteristica della distribuzione normale. Così,

$\phi_Z(t)=e^{-\frac{1}{2}(at)^2}e^{-\frac{1}{2}(bt)^2}=e^{-\frac{1}{2}(a^2+b^2)t^2}$,

che è la funzione caratteristica della distribuzione normale $\mathcal{N}(0,a^2+b^2)$.