Come erano le ampiezze del$\cos$e$\sin$scelto?
Non capisco perché usiamo$\displaystyle\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}$nella trasformazione sottostante. Qualcuno può aiutare a spiegare?
da
$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}e^t\left(\cos(2t)+\frac{1}{2}\sin(2t)\right)$$
trasformare in
$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}e^t\left(\frac{1}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}\cos(2t)+\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}\sin(2t)\right)$$
permettere$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}=\cos\phi$e$\displaystyle\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}=\sin\phi$,
$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}e^t(\cos\phi\cos(2t)+\sin\phi\sin(2t))$$
Risposte
Concentriamoci sulla parte importante, che è della forma$$ f(x)=a\cos x+b\sin x $$che vogliamo esprimere come$$ f(x)=A(\cos\varphi\cos x+\sin\varphi\sin x) $$Condizione necessaria (e sufficiente) è quella$$ A\cos\varphi=a,\qquad A\sin\varphi=b $$e quindi$a^2=A^2\cos^2\varphi$,$b^2=A^2\sin^2\varphi$. Quindi$$ A^2=a^2+b^2 $$Vogliamo$A>0$(non necessario, ma conveniente), quindi otteniamo$$ A=\sqrt{a^2+b^2},\quad \cos\varphi=\frac{a}{A},\quad \sin\varphi=\frac{b}{A} $$Gli ultimi due requisiti possono essere soddisfatti, perché$(a/A,b/A)$è un punto sulla circonferenza unitaria.
Questo è un modo per normalizzare il vettore$v=(a,b)=\left(1,\frac12\right)$questo è
$$|v|=\sqrt{a^2+b^2} \implies \hat v=\frac{v}{|v|}$$
ha lunghezza pari a$1$e questo permette di eseguire la successiva trasformazione per$\cos \phi$e$\sin \phi$.