Come ottenere il seguente limite:$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=?$
Come ottenere il seguente limite:
$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=?$$
Se lo lascio$x=r\cos \theta$e$y=r\sin \theta$dove$\theta\in (0, \pi/2)$, poi$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=\frac{r^5\cos^4\theta\sin\theta}{r^8\cos^8\theta+r^2\sin^2\theta}$$
Sembra che il limite non esista.
Risposte
In questi casi, spesso una buona strategia è quella di utilizzare un cambio di variabile per rendere gli esponenti uguali al denominatore, anzi lasciare$x^4=u$e$y=v$poi
$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=\lim_{(u,v)\to (0,0)}\frac{uv}{u^2+v^2}$$
e possiamo facilmente concludere ad esempio con coordinate polari o ipotizzando due percorsi diversi come$u=\pm v$.
Lungo la curva$y=x^{4}$il limite è$\frac 1 2 $e lungo$y=0$è$0$. Quindi il limite non esiste.